环形弹子球的动力学特性

摘要

随着光刻技术与晶体生长技术的日渐成熟，制作小尺度、任意形状的量子台球体系成为可能。特别是近二十年来，由于半导体材料的技术和工艺水平的迅速发展使得半导体纳米结构成为研究在微结中电子传导的理想模型。这种材料由包含高速运动的电子的薄层半导体(异质结)构成。垂直于层方向的运动是量子化的，所以电子的运动被局限在平面内。作为理论模型，这种系统被认为是二维电子气体系(量子台球体系)，与薄金属膜相比，它具有较低的电子密度，可以随外加电场的变化而变化。在低温条件下，这种低的电子密度意味着有大的费米波长(可以达到40nm)和大的电子平均自由程(可以达到10μm)，这样电子间的相互作用可以忽略，而电子与杂质粒子之间的碰撞作用影响甚微，电子可以看做是经典粒子，所以在量子台球中研究量子输运性质非常方便。二维量子台球体系的性质与边界的形状密切相关，改变体系的几何形状可以很方便的控制体系中粒子的运动情况。例如，圆形，正方形，椭圆量子台球体系是可积体系，粒子在这些体系中的运动为规则运动。当体系的几何形状变为Sinai型台球，体育场型甚至是心脏线型时，体系变为不可积，粒子的运动呈现混沌特征。另外，当体系加上外加磁场以后，体系的运动性质也会发生很大变化，研究表明:当加上均匀磁场后粒子的运动轨迹如果与体系的几何形状不相耦合时，体系的性质也会变得混沌。基于此，量子台球体系成为人们研究BEC(波色爱因斯坦凝聚)、测定磁导率以及输运体系动力学性质的理想模型。
　　对于不可积体系，问题一般无法得到解析解，而能通过数值计算的方法求得薛定谔方程的数值解，人们已经发展了许多数值求解的方法如:有限差分法、基矢展开法、定态展方法、Bsplines法……，然而数值方法需要大量的数据点和参数，而且由于算法复杂，一般只能得到近似解，因此量子混沌的研究至今未能顺利得到广泛开展。
　　从1970年Sinai首先利用经典力学的方法研究了Sinai量子台球各态历经混沌性质和横向叶脉性质，然后Bunimovich等人又利用微扰理论从直觉上解释了体育场型量子台球的性质，在1977年，Berry等人利用统计的方法研究了量子台球的混沌性。并利用Berry-Kubo公式方法，定态展开方法以及拓扑方法等研究量子台球的性质。1986年，杜孟利和Delos等人在研究外Rydberg原子在强电磁场中光吸收谱时基于Gutzwiller态密度迹公式的基础上提出了闭合轨道理论为研究经典物理与量子力学的对应关系提供了理论基础，被称为是联系经典世界与量子世界的唯一桥梁也为研究量子台球性质提供新的有用的理论方法。Delos小组利用S矩阵方法研究了导线接口处圆形量子微腔的传输问题，认为微结中的电导涨落是由于沿着连接不同导线间的经典轨迹的波的相干导致的并考虑了电子波的衍射效应。Christopher Stampfer小组利用赝路径半经典近似和衍射散射的Dyson方程研究量子台球体系的传输问题，解决了在导线出口和入口处的尖角效应。为理论工作者提供有用的物理基础，具有重要的理论意义。
　　量子力学诞生以来，其方法和计算技术已经成为原子和分子体系中精确计算的强大工具。量子计算结果和实验测量结果的精确符合消除了人们对量子力学基本概念的任何质疑，直到今天量子力学仍然是人们解决微观体系的精确理论。但是在应用量子力学的方法解决多维不可积体系时需要进行大量的数值计算(虽然可以通过选取合适的基矢改进本征值计算，对角化哈密顿量需要的计算量通常十分庞大)，而这些数值计算的结果对于我们了解体系动力学性质的作用甚微。相反，半经典方法可以很好的解释实验上或应用量子力学方法计算得到的数据，这种解释方法对于我们了解体系的动力学性质以及探索新的发展方向起到了重要的作用。因而量子力学和经典力学的对应关系一直是人们十分感兴趣研究问题，了解这种对应关系对人们更深刻的理解自然的本质有着重要的意义。量子力学与经典物理的对应关系经历了从量子力学诞生之初，Planck和Einstein对黑体辐射与经典物理不统一的困惑到 Heisenberg提出用量子力学的方法理解经典力学的方法，再到 Schrodinger建立Schrodinger方程建立了完成的量子力学体系。再到后来Gutzwiller发展的半经典方法和J.B.Delos提出的半经典闭合轨道理论以及谱函数方法以及Wigner提出的量子力学相空间理论的飞跃过程。但是由于Heisenberg的测不准关系的限制，量子力学相空间图像不是唯一的。这种不唯一性主要表现在所使用的数学函数或算符具有一定的任意性，这就是量子力学相空间图像的一大缺陷。因此，探索新的有效的相空间的描述一直是人们长期追求的目标。
　　论文共分四章。第一章为综述，主要从总体上介绍介观物理，量子台球体系的性质背景，介观物理中的基本概念，我们所选课题的意义以及主要已经进行的工作。第二章介绍了利用相空间中的庞加莱截面计算了同心和偏心量子台球的动力学特性，寻找量子与经典之间的对应关系。第三章研究了开口的圆环弹子球，计算出了模式比较简单情况下的传输系数，其振幅出现了很强的涨落现象，把其进行傅里叶变换，其能量谱的峰位置与经典轨道也有着很好的对应。第四章是本文的结束语，简要的对本论文进行了总结，并提出今后可以进一步探索的问题。

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第一章 综述

1.1 研究背景

1.2 几个基本概念

1.3 相空间理论综述

1.4 选题目的及意义

第二章 环形弹子球的动力学特性

2.1 引言

2.2 理论和计算方法

2.3 计算结果与讨论

2.4 结论

第三章 二维开口圆环腔中弹子球体系的输运性质

3.1 理论方法

3.2 半经典近似修正

3.3 计算结果和讨论

第四章 总结与展望

4.1 本文主要工作

4.2 对将来工作的展望

附录

A.1 量子体系的迹

A.2 马斯洛夫指标

A.3 传播子

A.4 格林函数

参考文献

研究生期间完成的论文

致谢