变系数分数阶扩散方程的混合有限元方法及其理论分析

摘要

扩散是指一个系统由非均化不平衡状态向均化平衡状态转化从而引起粒子随机迁移的过程，它广泛存在于自然界工业生产和社会经济中．1822年，法国数学物理学家傅里叶(Fourier)推导出了热量的扩散方程——热传导方程，首次实现了用整数阶微分方程对扩散过程的数学刻画；1855年，德国生理学家菲克(Fick)将傅里叶的热传导方程应用于描述扩散现象，建立了描述水和营养物质在细胞膜内传播过程的扩散方程；1905年，爱因斯坦(Einstein)从微观的角度建立了布朗运动粒子满足宏观形式的扩散方程．这些二阶扩散模型的建立都基于一个基本的共同的假定：微观粒子的位移服从经典的高斯分布，即粒子的位移具有有限的平均自由程与有限的平均等待时间. 然而，科学家们发现自然界中存在着大量不满足上述假定，也不宜用整数阶扩散方程进行物理力学和工程建模的所谓的“反常扩散”现象．例如，大气中出现的湍流现象[29,107]、河口泥沙输运过程中出现的具有长尾的羽流现象、影印机和激光打印机在工作时碳粉颗粒的扩散现象[67]等．大量的实验结果和数据分析表明分数阶扩散方程能更好的捕捉这种异常弥散，更为准确地刻画这种反常现象．因此，关于分数阶扩散方程的数学理论与数值模拟技术研究，无论是对全面理解扩散过程的运动机理，还是为实际工程技术实践提供决策依据都具有重大意义，业已成为当前工程技术界、数学界的研究热点领域． 分数阶扩散方程不同于经典的整数阶扩散方程，其所涉及到的分数阶微积分算子是一种全局性算子，形式结构比较复杂，以致仅有少数分数阶扩散方程可以获得其解析解，且解析解是由特殊函数来表示的，而要数值地表示出这些特殊函数绝非简单，从而数值解法的研究尤为重要． 早期的数值方法主要是级数逼近法，包括变分迭代法、Adomian分解法等，虽然级数逼近法能以较快的速度收敛于精确解，但由于计算过程会涉及已知函数的分数阶导数，计算过程一般比较复杂．尤其是在工程应用中，为了获得较高精度就必须增加级数的项数，这无疑增加了计算复杂度和计算量，而且级数逼近需要采用符号计算进行推导，其计算机实现性差，无法满足复杂工程问题模拟的需要．从而人们把目光投向了计算简单、求解效率较高且易于计算机实现的有限差分与有限元等计算方法. 有限差分方法基于一定条件下Riemann-Liouville分数阶导数与Grünwald-Letnikov分数阶导数的等价性，用移位的Grünwald-Letnikov技巧逼近Riemann-Liouville分数阶导数，从而达到离散分数阶扩散方程的目的，由于其计算简单、灵活、通用性强且易于编程等特点，受到了广大学者的青睐．在此基础上，一些其他数值方法也相继构造出来．例如，谱方法[58，77，79，86，98，150,151]、多重网格方法[101]、配置法[105]、有限体积方法[145]等. Galerkin有限元方法也是数值求解扩散方程的最常用的方法之一，它以泛函分析为工具，放宽了对解的光滑性的要求，将解析解与有限元解一同纳入一个完备的函数空间讨论，数学工具丰富，易于进行数值分析，但需要预先获得关于微分方程强制性、解的适定性与正则性等先验条件．但由于分数阶微分算子是一种非局部算子，其共轭算子不是它的负算子，分数阶扩散方程的解的结构和性质，如强制性、解的存在性与正则性等基本数学性质，不像经典的扩散方程那样清晰明了，这给将Galerkin有限元技术应用于数值模拟分数阶扩散方程带来了本质上的困难．因此，设计一种Galerkin变分框架，使其既能推断出分数阶扩散方程解的基本数学结构，又可诱导出一种具有较高收敛精度、容易实现的数值模拟方法，己成为计算数学界面临的新挑战． 对于常系数分数阶扩散方程，Ervin和Roop[38，39，41]建立了Galerkin有限元理论框架，提出了一种Galerkin变分形式，并在全正则的条件下给出了最优阶的误差估计．在此框架下，陆续涌现出求解常系数扩散方程的一系列方法：间断Galerkin方法[32，33]、Petrov-Galerkin方法[64，65，134，136]等．2016年，陈焕贞和王宏[20]等通过引入中间变量q=Dp和u=-K0Iβxq建立了鞍点的框架，并发展了一种局部质量守恒的扩展混合变分形式，建立起了严密的数值分析理论，然而如此构造的格式就算右端函数，是充分光滑的，关于未知量p和u也得不到最优的误差估计. 究其原因，这要归结于真解p中弱奇异项x1-β[64]的存在，它使得真解p的正则性仅仅属于H1-β+γ(Ω)，相应的q的正则性也仅为Hγ-β(Ω)，导致数值格式的收敛阶更是降到了γ-β/2，γ∈[β/2，1/2）．为了克服由解的低正则性所导致的数值收敛精度低的难题，学者们提出了一系列的方法：在奇异点处加密网格的方法[60]；通过变量替换将单边常系数分数阶扩散方程转变成了经典的二阶两点边值问题[63]的方法；奇异点重构的方法[66]；Petrov-Galerkin谱方法[86]等． 对于变系数分数阶扩散方程，其解的结构与性质怠发不清晰，而且适用于常系数扩散方程的Galerkin-有限元方法不能平行推广过来．主要的困难在于：(1)Galerkin变分形式的强制性不再满足；(2)高阶分数阶算子的奇异核依赖于变系数K(x)，解正则性的讨论变得愈加复杂．这使得有关变系数分数阶扩散方程基于有限元框架的数值模拟研究进展缓慢，相关研究成果偏少．为了弥补这种缺陷，王宏、羊丹平等人[134,136,137,144]采用了Demkowicz和Gopalakrishnan提出的间断Petrov-Galerkin(DPG)理论框架来处理变系数分数阶通量形式的扩散方程，证明了双线性形式的弱强制性和解的存在唯一性，并得到了能量模和L2模误差估计，然而此方法需要巧妙的选取有限维的试探函数空间以及检验函数空间来确保离散格式的弱强制性和解的存在唯一性以及稳定性；且为了确保LBB条件的成立，需要构造一个非局部的变换T将试探函数空间变换到检验函数空间中，以至于使得检验函数空间依赖于变系数K(x)且是非局部的，这无疑增加了计算的复杂度. 因此，针对变系数的分数阶扩散方程，设计一种Galerkin变分框架，使其既能准确的确定并计算出奇异项，又可诱导出一种具有较高收敛精度的数值模拟方法，已成为计算数学界面临的新挑战． 本文的研究内容如下． 在第二章，本文考虑了一类单边常系数分数阶通量形式的扩散方程{(a)-D{K0IβxDp}(x)=f(x),x∈Ω:=(0,1),(b)p(0)=0，p(1)=0．此方程精确解中含有弱奇异项x1-β，它在区间的左端点x=0会产生弱奇异性，使得不论方程右端函数光滑性如何，精确解的正则性不会超过H1-β+γ(Ω).而有限元解的收敛性依赖于精确解的正则性，从而弱奇异项的出现严重影响数值解的收敛精度，数值实验的结果也不够理想．为了克服由弱奇异项的低正则性所带来的收敛精度低的困难，本文首先通过方程分解技巧，将弱奇异项从方程中分离，构造一个全正则的新的扩散方程．在此基础上，通过引入两个中间变量u=-K0Iβxq和q=Dp将新的全正则的扩散方程改写成一个混合系统，建立鞍点的框架，构造一个独立于弱奇异项的扩展混合变分形式，提出相应的扩展混合元离散格式．方程分解技术成功的消除了解析解中弱奇异项的低正则性对牧敛精度的影响；而扩展混合理论框架，使得不仅可以近似未知量p，又可以近似出中间变量q和u.具体工作如下： (1)将分数阶扩散方程分解为一个右端项依赖于f的全正则的新的分数阶扩散方程和一个易于解析求解的含有弱奇异项x1-β的方程，进而将原方程的解表达成一个依赖于，的正则解和一个带有弱奇异项x1-β的奇异解． (2)引入两个中间变量u=-K0Iβxq和q=Dp，将依赖于右端项f的新的全正则的扩散方程改写成一个混合系统，构造一个独立于弱奇异项的扩展混合变分形式，证明了解的存在唯一性，进而提出了相应的扩展混合元离散格式，并进行了收敛性分析，得到了关于变量p以及中间变量u和q的误差估计．因为x1-β-型解是可以解析得到的，从而原始分数阶扩散方程数值解的误差估计遵循于右端项依赖于f的全正则的分数阶扩散方程的数值解误差估计，数值算例验证了本文提出的方法的可行性. 在第三章，本文考虑了一类单边变系数的分数阶散度形式的扩散方程{-0D1-βx(K(x)Dp)=f(x),x∈Ω，p(0)=p(1)=0．方程中变系数K(x)的出现使得将常系数分数阶扩散方程的Galekin框架下构造的弱形式推广到变系数时，强制性不再满足．为了克服由此带来的困难，本文通过引入分数阶通量u=-K(x)Dp作为中间变量，将变系数从非局部算子0D1-βx中分离出来，将变系数与整数阶导数相结合，形成一个由变系数一阶方程和常系数低阶分数阶导数方程构成的混合系统，从而便于将其纳入通常Galerkin框架下利用常规的H1-Galerkin混合元方法处理这两个方程． 除此之外，此方程精确解拥有弱奇异项，且弱奇异项又依赖于变系数K(x)，这使得精确解的正则性变得更加复杂，进而也影响到了依赖于精确解正则性的数值解的收敛精度．为了克服弱奇异项的低正则性对收敛精度的影响，本文采用了空间分解技术，将混合系统中低阶分数阶导数方程解所允许的空间J1-βL(Ω)直和分解为一个经典的分数阶Sobolev空间H1-βL(Ω)和一个由分数阶导数算子0D1-βx的奇异核x-β张成的空间．在此基础上，基于Galerkin混合框架，利用最小二乘的思想，在经典的Sobolev空间构造出一个独立于奇异核x-β的混合变分形式，利用空间直和分解，方程的真解被分解为正则部分与奇异部分之和：正则部分可以通过最小二乘混合元方法近似，而奇异部分是精确计算的，从而确保了Galerkin有限元方法的最优收敛精度．具体工作如下． (1)对分数阶导数空间JsL(Ω)进行直和分解，分析它与分数阶Sobolev空间Hs(Ω)的关系，并诃论分数阶算子0Isx和0Dsx；的有界性． (2)引入中间变量u=-K(x)Dp，将方程分解为一个由变系数一阶方程和常系数1-β阶的分数阶方程构成的混合系统．在此基础上利用最小二乘原理和空间直和分解技术，基于Galerkin混合框架在经典Sobolev空间上建立一个独立于奇异核x-β的混合型的变分形式，证明解的存在唯一性，给出它与分数阶扩散方程等价性的证明，并讨论当右端项f为一般函数时，方程解的正则性． (3)构造一种最小二乘混合有限元方法，给出最优阶的误差估计，并用数值实验来验证所提出的方法的可行性． (4)为了克服由最小二乘混合有限元格式所对应的线性方程组的计算量与存储空间大的困难，构造了一种基于Jacobi正交多项式的谱Galerkin算法. 在第四章，本文考虑了一类双边变系数的分数阶散度形式的扩散方程{-{θ0D1-βx-(1-θ)xD1-β1}(K(x)Dp)=f(x),x∈Ω，p(0)=p(1)=0．此方程困难在于：(1)变系数K(x)使得Galerkin框架下弱形式强制性不再满足；(2)双边分数阶扩散方程拥有奇异项：奇异核项k(x)和奇异项xk(x)，它们严重影响了方程的正则性乃至数值解的收敏精度．为了消除变系数对Galerkin变分形式强制性的影响，本文通过引入分数阶通量u=K(x)Dp作为中间变量，将变系数K(x)从非局部算子0D1-βx和xD1-β1中分离出来，将变系数与整数阶导数相结合，形成一个由变系数一阶方程和常系数1-β阶双边导数方程构成的混合系统，从而便于利用常规的H1-Galerkin混合元方法处理这两个方程．鉴于奇异项k(x)，xk(x)是方程解的一部分，本文将混合系统中1-β阶双边分数阶导数方程解所允许的空间定义为一个经典分数阶Sobolev空间H1-β0(Ω)和一个由奇异项{k(x)，xk(x)}张成的空

目录

第一章 绪论

§1.2 分数阶微积分简介

§1.3分数阶扩散模型的研究现状

§1.3.1分数阶扩散模型的数学刻画

§1.3.2分数阶扩散问题数值模拟的研究现状

§1.4 本文主要研究内容

§1.5 一些基本定义与引理

§1.5.1分数阶微积分算子的定义与性质

§1.5.2 分数阶导数空间的定义和性质

§1.5.3 分数阶微积分算子的有界性

第二章 单边常系数分数阶扩散方程的混合有限元方法及其理论分析

§2.2分数阶扩散方程的分解

§2.3 鞍点问题和混合有限元方法

§2.4收敛性分析

§2.5 数值实验

第三章 单边变系数分数阶扩散方程的最小二乘混合有限元方法及其理论分析

§3.2分数阶导数空间的直和分解

§3.3 基于最小二乘原理的混合变分形式

§3.3.1最小二乘混合变分形式

§3.3.2解的正则性

§3.4 最小二乘混合有限元方法及其收敛性分析

§3.5 数值实验

§3.5.1 基于线性有限元空间的数值实验

§3.5.2 基于常数有限元空间的数值实验

§3.6 谱Galerkin格式

§3.7 函数x-β正则性的证明

第四章 双边变系数分数阶扩散方程的最小二乘混合有限元方法及其理论分析

§4.2 分数阶导数空间与分数阶Sobolev空间

§4.3双边分数阶导数算子D1-βθ的性质

§4.4基于最小二乘原理的混合变分形式

§4.4.1 最小二乘混合变分形式

§4.4.2解的正则性

§4.5最小二乘混合有限元方法及其收敛性分析

§4.6 数值实验

§4.7 小结

第五章 总结与展望

参考文献

攻读博士学位期间发表及完成的论文

致谢