协变量缺失下变系数部分非线性模型的统计推断

摘要

参数模型具有易于解释的优点，一直以来都受到很多的关注。但是若给出的参数模型假设不正确，那得出的结论往往也是值得怀疑的。故人们更多的利用非参的方法估计内在的函数，以减少模型的偏差。由于非参数模型不需要模型结构的假设，所以有着较强的灵活性。但是当变量的维数较高时，就会出现“维数祸根”的问题。于是，学者们越来越重视介于参数模型和非参数模型之间的半参数模型。半参数模型既含有参数分量,又含有非参数分量。因此,该模型不但具有参数模型易于解释的优点,而且具有非参数模型适应性较广的优点。本文研究的变系数部分非线性模型是一种应用更广泛的半参数模型。线性模型、部分线性模型以及变系数模型都是该模型的特殊情形。 另外,缺失数据的情况在实际应用中是很常见的，例如在问卷调查过程中,涉及个人隐私的问题如年薪、婚史、年龄等，人们不会进行回答，这就导致出现了数据缺失。标准的统计方法不能准确的对缺失数据进行估计，往往会出现偏差。于是，如何对缺失数据进行处理已成为现代统计分析的热点课题之一。许多学者对缺失数据的问题进行了研究，并提出了许多方法。其中比较受欢迎的就是逆概率加权的方法。本文在协变量缺失下基于逆概率加权方法对变系数部分非线性模型进行了统计推断。 本文共分成五章，第一章首先介绍了变系数部分非线性模型、缺失数据和经验似然相关的基础知识以及目前的研究现状;第二章、第三章和第四章是本文的主要工作；第五章是对本文的总结以及今后的展望。第二章我们提出了协变量缺失下变系数部分非线性模型的最小二乘估计，主要给出了当选择概率πi未知时，参数分量β和非参数分量θ(u)的逆概率加权最小二乘估计，分别记为(β)和(θ)(u)。并证明了参数估计的渐近正态结果为：√n((β)?β)D→N(0,Σ?11Σ2Σ?11),非参数估计的渐近正态结果为：√nh[(θ)(u)?θ(u)?1/2h2μ2θ′′(u)]D→N(0,Σ3).第三章我们主要给出了协变量缺失下变系数部分非线性模型中参数部分和非参数部分的经验似然推断，通过构造参数β和非参数θ(u)的估计方程，进而得到其经验似然比统计量，并在一定的条件下证明了该统计量的渐近分布为标准卡方分布，从而在不用构造枢轴量的前提下，很方便的得到了参数β和非参数θ(u)的置信区间，具体的说参数的置信域为：Cα(β)={β:(L)(β)≤χ21?α(p)}.非参数θ(u)的置信域为：?(α)={θ(u)∈Rq:(l)(θ(u))≤χ21?α(q)}.除此之外，在第四章中我们还给出了数值模拟和实例分析，在数值模拟中运用我们所提出的逆概率加权最小二乘方法和经验似然方法进行数值实验，将两种方法得到的结果进行比较。我们得出对于参数部分和非参数部分，经验似然方法得到的结果都要优于逆概率加权最小二乘方法得到的结果。进一步的实例分析也验证了我们方法的可行性。在第五章中我们总结了论文的主要内容和今后要研究的工作。

目录

声明

第一章 引言

§ 1.1变系数部分非线性模型

§ 1.2缺失数据

§ 1.3经验似然方法

第二章 协变量缺失下变系数部分非线性模型的最小二乘估计

§ 2.1协变量缺失下变系数部分非线性模型的最小二乘估计

§ 2.2主要结果

§ 2.3条件及证明

第三章 协变量缺失下变系数部分非线性模型的经验似然推断

§ 3.1协变量缺失下变系数部分非线性模型中参数的经验似然推断

§ 3.2协变量缺失下变系数部分非线性模型中非参数的经验似然推断

§ 3.3条件及证明

第四章 数值实验

§ 4.1数值模拟

§ 4.2实例分析

第五章 总结与展望

参考文献

作者在攻读硕士学位期间主要论文

致谢