自然邻近无网格法的理论与应用研究

摘要

形状优化是利用优化方法在不改变拓朴结构的前提下，确定结构在满足目标函数和约束函数条件下的最优外形轮廓，在工程中具有广泛的应用。形状优化属于移动边界问题，有限元法解决这类问题存在许多困难，优化迭代过程中的网格重构影响了灵敏度的求解精度与形状优化的效率。无网格法是近些年发展起来的不使用网格的数值计算方法，特别适合于移动边界问题，处理形状优化问题尤其方便。然而无网格法还不够成熟，有待于进一步的完善，如处理边界条件不便和需要使用背景网格等。针对目前无网格法中的不足，为了更好地应用于形状优化这一应用场合，对提高无网格法的计算效率与精度的途径、形状优化中的灵敏度分析及形状优化实施技术等问题进行了深入地研究。论文的主要研究内容和创新性成果有： 对目前的近似方案进行分析与评定，把non-Sibsonian插值确定为无网格法中的近似方案。从构造方法、函数特性等方面对non-Sibsonian插值进行了全面地研究。利用non-Sibsonian插值形函数的单位分解特性，以non-Sibsonian插值形函数的支集作为结点覆盖，在覆盖上定义局部近似函数并利用non-Sibsonian插值形函数确定结点覆盖对场函数的贡献，构造了基于结点覆盖的近似方法。由于局部近似函数可以使用多种方法构造，根据不同的应用场合可以采用不同的局部近似方案，这扩展了non-Sibsonian插值的适用范围和逼近能力。在构造non-Sibsonian插值时提出了自然邻近结点的局部搜索算法和构造自然邻近多边形的简便方法，改善了non-Sibsonian插值的计算效率。针对凹域边界上近似函数的构造情况，使用更为简便的方法实现了non-Sibsonian插值的线性插值特性。 采用non-Sibsonian插值构造近似函数，基于局部Petrov-Galerkin离散方案，发展了一种新的无网格方法，称它为自然邻近无网格法。该方法能够解决无网格法中存在的一些不足，提高无网格法的计算效率与计算精度。该方法中近似函数的计算不涉及复杂的矩阵求逆运算，更不需要任何人为的参数，由于具有插值特性，可以直接处理边界条件；该方法使用了控制方程的局部积分“弱”形式，不需要额外的背景积分网格，整体刚度矩阵的形成不需要“装配”过程。自然邻近无网格法具有很大的灵活性，结点测试函数和局部子域可以使用多种方法构造，因而自然邻近无网格法的具体实施方案不拘一格，根据不同的需要可以构造不同

目录

摘要

Abstract

第1章 绪论

1.1 问题提出及意义

1.2 无网格法的研究与应用现状

1.3 常用近似方法

1.3.1 核函数近似及再生核近似

1.3.2 移动最小二乘法

1.3.3 点插值近似

1.3.4 单位分解近似

1.4 边界条件处理

1.5 离散方案与积分方案

1.6 形状设计灵敏度分析及形状优化

1.7 论文主要工作及论文组织

第2章 自然邻近插值

2.1 引言

2.2 自然邻近插值

2.2.1 Voronoi结构和delaunay三角化

2.2.2 Non-Sibsonian插值

2.3 形函数的性质

2.4 Non-Sibsonian单位分解近似

2.5 Non-Sibsonian插值的计算

2.3.1 自然邻近结点的搜索算法

2.3.2 Voronoi结构的构造

2.6 凹域边界上的non-Sibsonian插值

2.7 本章小结

第3章 自然邻近无网格法

3.1 引言

3.2 局部petrov-Galerkin离散方案

3.3 自然邻近无网格法

3.3.1 局部积分“弱”形式

3.3.2 离散形式及实施步骤

3.4 结点子域的构造

3.5 数值积分方案

3.6 本章小结

第4章 自然邻近无网格法的实施方案

4.1 引言

4.2 基于多边形子域的实施方案

4.2.1 子域构造与测试函数选取

4.2.2 积分方案

4.2.3 实施算法

4.2.4 数值算例

4.3 基于圆形子域的实施方案

4.3.1 测试函数的构造

4.3.2 结点子域构造

4.3.3 积分方案

4.3.4 实施算法

4.3.5 数值算例

4.4 本章小结

第5章 形状优化中的灵敏度分析

5.1 引言

5.2 基于物质导数法的灵敏度分析理论

5.2.1 物质导数法

5.2.2 位移灵敏度计算的直接微分法

5.2.3 离散形式及实施步骤

5.2.4 设计速度场计算

5.3 算例分析

5.3.1 单向受拉板

5.3.2 圆筒受均布径向内压

5.4 本章小结

第6章 形状优化方法及实施技术

6.1 引言

6.2 形状优化建模

6.2.1 设计变量与设计边界

6.2.2 目标函数

6.2.3 约束函数

6.2.4 设计模型与分析模型

6.3 优化算法

6.4 分析模型的更新算法

6.5 形状优化系统组成

6.6 算例分析

6.6.1 切角优化问题

6.6.2 方形小孔的形状优化

6.7 本章小结

总结与展望

全文总结

研究展望

参考文献

致谢

攻读博士学位期间发表的学术论文