迭代函数方程与映射的不变曲线

摘要

迭代是自然科学乃至人类生活中的一种普遍现象。迭代函数方程理论是一个历史悠久、内容丰富、应用极其广泛的数学分支，漫长的历史沉淀使迭代函数方程与微分方程、差分方程、积分方程及动力系统紧密相关，在实验科学和工程科学研究中起着重要作用。迭代函数方程是函数复合与迭代的产物，和微分方程一样都是函数方程的特殊类型.准确地讲，迭代函数方程就是由未知函数和复合运算构成的恒等式.迭代函数方程伴随着迭代理论的发展，从巴贝奇、阿贝尔等数学家开始至今，已经形成了一个理论体系。本文在引言中着重介绍了迭代函数方程中的不变曲线问题，并且简要介绍了近几年在该方面的研究成果。 本文的第二章介绍了函数迭代的特性、迭代与动力系统的概念，介绍了迭代函数方程的基本形式、迭代根问题以及在文中采用的Cauchy的优级数法的有关概念。 平面保积映射的不变曲线在离散动力系统的周期稳定性理论中扮演着重要的角色，研究平面映射的不变曲线的存在性具有重要的意义. 本文在第三章研究了一个复合映射的解析不变曲线的存在性问题。首先将平面映射不变曲线的存在性化为等价的迭代函数方程解的存在性，然后利用Schr(o)der变换把迭代函数方程化为不含未知函数迭代的非线性函数方程，再利用Cauchy的优级数方法得到解析解的存在性，从而得到解析的不变曲线。 利用Cauchy的优级数法，我们需要讨论曲线在一个不动点处的特征值α。文中我们不仅讨论了特征值在双曲情况0＜｜α｜＜1和共振情况(即α为单位根)的情况，而且还突破了Diophantine条件的限制在比Diophantine条件更弱的条件---Brjuno条件下讨论了共振点附近的情况(即单位根附近)。

目录

文摘

英文文摘

声明

第一章引言

第二章预备知识

§2-1迭代

§2-2动力系统概念

§2-3迭代函数方程

§2-4Caucgy优级数

第三章一个复合映射的解析不变性

参考文献

致谢