关于一类由正倒向随机微分方程衍生的模型的半参数统计推断

摘要

近年来，对倒向随机微分方程的研究得到了广泛的关注.它不仅与非线性偏微分方程有着密切的联系，更-般地，非线性半群，随机控制问题等也与此密不可分.同时，在数理金融中，未定权益的估价和定价理论也可以通过一个线性倒向随机微分方程表示.对倒向方程而言，投资组合的动态变量Yt可由-个生成元为f的倒向方程来刻画，Zt对应未定权益投资组合.特别地，当生成元f又同时是-个扩散过程的函数时，相应的方程称为正倒向随机微分方程. 基于正倒向随机微分方程的结构形式，我们提出一类新的模型，形式如下： dYt=-f（t，Xt，Yt，Zt）dt+ZtdWt（1）这里Xt满足方程 dXt=μ（Xt）dt+σ（Xt）dBt；X0=x，不引起混淆起见，仍然称函数f为生成元函数。这个模型与一般的倒向方程及正向方程都有所不同.与倒向方程相比，我们的模型不考虑终端条件；与正向随机微分方程相比，我们的模型中漂移项不仅含有扩散项函数，而且漂移项还与某个扩散方程有关，这一点是正向方程所不具备的。因而论文中考虑的问题是具有创新性的。 本学位论文中所考虑的是关于一类由正倒向随机微分方程衍生的模型 （1）的半参数统计推断问题.当模型中生成元为线性函数，以及生成元受到不等式约束时，我们考虑了方程的半参数估计及假设检验问题.在这种情形下的倒向方程估计问题不同于非参数情形下的估计问题如果生成元具有参数结构，我们的问题就变成一个半参数估计问题.虽然在参数估计过程中，有一个非参估计代入，我们仍然得到了参数估计的标准形式的渐进正态性.由此，我们可以进一步地考虑关于参数的假设检验问题.我们主要考虑了生成元具有线性结构时参数的假设检验问题，所借助的主要工具为渐进正态及经验似然方法.特别是对于经验似然，虽然在估计函数里有非参估计代入，我们仍然证明了所构造的经验似然比统计量是渐进x2分布的。对于有约束模型，我们试图得到在不等式约束下的统计结果.文中所得到的结果可以看作是现有结果的改善与深入，其中的渐进结果及假设检验和有约束下模型的估计结果都是全新的。本学位论文共分五章，包含如下部分的内容： 第一章主要介绍了正倒向方程的发展及我们提出的模型的相关知识，并给出了我们的模型与一般的倒向方程和正向方程的不同之处，从而意味着我们得到的结果是具有创新性和建设性的。很多在一般随机微分方程中常用的估计方法也做了简要介绍，回顾了参数模型，非参数模型及半参数模型中的估计方法，然后介绍了平稳过程及混合相依过程的定义，这对于考察我们模型的渐进统计性质是必要的。 在第二章中，我们主要考虑了如下形式模型的半参数估计及其渐进性质： dYt=（cYt+μZt）dt+ZtdBt，（2）这里Xt为几何布朗运动，满足方程： dXt=μXtdt+σXtdBt；X0=x，这里u，σ均为未知参数。 我们的目的是要在有非参估计Zt代入时，得到参数β=（c，μ）的半参数估计以及考虑估计的渐进性质.所得到的非参数及半参数估计都是简单可实现的，虽然有一个非参插入，但是我们在不需要高阶核，undersmoothing及纠偏方法时，仍然得到了估计以最优速度渐进正态性的结果. 将模型（2）离散化，观测时间间隔记为△，这里我们假设得到的是高频数据.假设在某时刻t0，有观测数据 （Xt0+i△，i=0，1，…n-1）及（Yt0+i△，i=0，1，…n-1）， 第三章包含两方面的结果.首先，我们考虑了基于渐进正态性质下置信域的构造.这种方法里估计方差中包含了多个需要估计的统计量，在一定程度上会降低置信域的覆盖率，因而在第二部分，我们转而考虑经验似然方法下的置信域.这种方法不需估计未知参数。在两种情形之下，我们给出了置信域的构造，并通过模拟比较了两种方法下的置信域的覆盖率和置信域长度，得出结论投影经验似然方法更具有优势. 以下的两个定理都是基于渐进正态下置信域的构造. 为了避免在估计方差中对未知项的估计，我们提出用经验似然方法构造置信域.经验似然方法是1988年由Owen（[69]）提出的。经验似然方法在构造置信域方面有许多突出的优点.例如：无需对未知参数进行估计，无需对渐进方差进行估计，置信域的形状由数据自行决定、域保持性、变换不变形、Barlett纠偏性以及无需构造枢轴统计量等.应用经验似然的经典证明方法，我们得到如下定理。 第四章，我们考虑了不等式约束下模型的统计推断问题，其中包含了两个方面的情况：一种是生成元为线性函数的情况，此时的约束相应地也是线性的。约束是基于倒向方程的生存性质给出的，不等式记为：（）（y，z）β≤（）（y，z），这里（）（y，z）和（）（y，z）是关于y，z的函数，记号可见第4.2节；另一种情况下，我们并不对生成元的函数作出限制，相应的约束为非线性的。 在第一种情况下，我们给出了不等式约束下的Zt和参数β的估计.此时的问题转化为二次规划问题，相应的结果也是成立的。进一步，关于参数β，我们有如下的定理。 实际上，在我们的问题中，Zt是未知的不可观测的量，只要我们选取Zt的无偏估计代入，对于上面的似然比统计量，会有类似的结果. 如果生成元没有假定特定的形式，那么相应的问题就转化为非线性不等式约束下的估计问题.我们采取的方法是利用不等式约束下的最小二乘方法得到转换数据，进而通过非参数平滑估计生成元. 假设对原始数据（）应用约束最小二乘得到转换数据（）那么由这些转换数据及对数凸核函数得到的局部线性估计会满足约束条件.

目录

文摘

英文文摘

声明

第一章 正倒向随机微分方程及相关模型介绍

§1.1引言

§1.2随机微分方程的估计方法

§1.2.1参数方法

§1.2.2非参数方法

§1.2.3半参数方法

§1.3平稳与混合过程

第二章 关于一类由正倒向随机微分方程衍生的模型的半参数估计用其渐近性质

§2.1引言

§2.2模型的半参数估计

§2.2.1模型的非参数估计

§2.2.1模型的半参数估计

§2.3渐进结果

§2.4模型的推广

§2.5广义似然比检验

§2.5模拟研究

§2.6附录

第三章 关于一类由正倒向随机微分方程衍生的模型的经验似然比检验

§3.1引言

§3.2基于渐进正态的置信域

§3.3基于经验似然的置信域

§3.4模拟研究

§3.5附录

第四章 不等式约束下由正倒向随机微分方程衍生的模型的统计推断

§4.1引言

§4.2不等式约束下线性生成元函数的统计推断问题

§4.2.1 BSDE的生存性质

§4.2.2不等式约束下的参数估计

§4.2.3估计的渐进性

§4.2.4参数的似然比检验

§4.3不等式约束下生成元函数的非参估计

§4.3.1非线性不等式约束下的局部线性估计

§4.3.2非线性不等式约束下的两步估计

第五章 可继续研究的问题

参考文献

The Completed Papers

致谢