华罗庚定理对多项式次数的依赖条件

摘要

本文研究华罗庚定理对多项式次数的依赖条件.对华罗庚问题的研究已经经历很长的时间，研究的方法也各种各样.本文是基于Perron公式，Page定理，Vaughan恒等式及Vinogradov方法等技术讨论华罗庚定理是如何依赖于多项式次数的，从而得到了在k满足一定条件下，华罗庚定理恒成立这一结论.即如下定理
　　定理对任意的α∈R，当k＜＜logloglogx时，恒有
　　∑n≤xμ（n）e（nkα）＜＜x(logx)-1/2.
　　论文共分为五个部分.第一章，我们简要的总结了华罗庚定理的研究背景，并简要的阐述了自己所要研究的问题.
　　第二章，我们利用华罗庚定理证明的一般做法将求和根据q的不同取值范围分为两种情形:A={α|α=a/q+λ，(a，q)=1，1≤q≤P，|λ|≤1/qQ}与B={α|α=a/q+λ，(a，q)=1，P＜q≤Q，|λ|≤1/qQ}.我们需要在情形A下得到命题1，在情形B下得到命题2，这样定理1便得证了.
　　第三章，研究A情形下的估计.首先，基于Perron公式，Cauchy留数定理及导数的定义找到∑n≤xμ(n)x（n）在A下的估计.然后，利用Page定理将问题分为两种情形:(1)L-函数不存在例外零点情形，这时我们用代数方法及分部求和方法得到∑n≤xμ（n）e（nkα）的一个上界估计;(2)L-函数存在例外零点情形，这时我们利用特征函数的正交性，再利用分部求和方法得到∑n≤xμ(n)e(nkα)的一个较大上界估计.最后，我们将两种情形合并，得到当k满足一定条件时A情形下的估计.
　　第四章，研究B情形下的估计.首先利用Vaughan恒等式将μ(n)进行分解，从而将B下求和化为(T)1，(T)2的形式.其次利用Vinogradov方法对(T)1，(T)2进行估计，经过分析得到它们在互补条件下的相同估计.最后，将B情形下的T1，T2先转化为(T)1，(T)2的形式，再求得包含k的精确上界.
　　第五章研究k的取值范围.基于三、四章的估计，只需要让B情形下的估计小于等于A情形下的估计，便可得到k的取值范围，此即华罗庚定理对多项式次数的依赖条件.