非线性期望下的反射倒向随机微分方程及其应用

摘要

本篇论文的研究就建立在G-期望的基础之上，主要由以下四个课题组成:第一个课题中将上鞅的概念推广到了G-期望框架下，并且得到了这类上鞅的分解定理。第二个课题介绍了由G-布朗运动驱动的向上反射的一维倒向随机微分方程(简称为反射G-BSDE)，得到了解的存在唯一性，比较定理及其应用。第三个课题研究了由G-布朗运动驱动的向下反射的一维倒向随机微分方程。与经典情形相比，由于由G-布朗运动驱动的倒向随机微分方程(简称为G-BSDE)中多出递减G-鞅项，因此向下反射G-BSDE更加复杂。最后一个课题研究了在马尔科夫情形下，由一类向上反射G-BSDE的解定义的随机递归最优控制问题。得到了相应的动态规划原理(简称为DPP)，并且建立了值函数与Hamilton-Jacobi-Bellman-Isaac(简称为HJBI)方程的联系。在G-期望框架下，所有随机微分方程都在一族概率测度之下进行研究。G-期望理论的重点与难点就在于这一族概率测度是非控制并且相互奇异的。在这一方面，G-期望理论与Denis与Martini[18]的拟必然随机分析理论以及Soner，Touzi与Zhang[78]的2BSDE理论有许多的相似之处。
　　下面进一步介绍论文的内容以及结构。
　　在第一章中，简要介绍了G-期望与由G-布朗运动驱动的倒向随机微分方程的相关概念与结论。文章后面的结论都建立在G-期望的框架之下。
　　在第二章中，首先由G-BSDE之解推广G-上鞅的概念。之后给出这类一般非线性上鞅满足的分解定理。特别的，就得到了G-上鞅的Doob-Meyer分解。需要利用惩罚逼近的方法证明分解存在性。需要注意的是，在G-期望框架下，控制收敛定理未必成立，另外，MpG(0，T)中的有界序列也未必是弱收敛的。证明的难点就在于如何在合适的意义下说明惩罚序列的收敛性。为此，需要利用SpG(0，T)中元素的一致连续性(MpG(0，T)与SpG(0，T)空间的定义参见第一章）。最后在马尔科夫情形下，考察这一非线性上鞅与对应的非线性PDE粘性上解的关系。
　　在第三章中，研究了向上反射的G-BSDE。与经典情形相比，需要将Skorohod条件改变为所谓的鞅条件来保证方程解的唯一性。为了证明存在性，构造一列惩罚G-BSDE。在本章的第三与第四部分，首先给出反射G-BSDE与惩罚G-BSDE的先验估计与收敛性质，由此得到反射G-BSDE解的存在唯一性以及相应的比较定理。在本章第五部分，在马尔科夫框架下考虑反射G-BSDE，并且得到它的解与带约束的全非线性抛物偏微分方程(简称为PDE)的联系。最后，在本章的第六部分，应用反射G-BSDE理论解决波动率不确定性下美式期权的定价问题。事实上，Matoussi，Possamai与Zhou[52]尝试在2BSDE的框架下考察反射问题。不过，最近他们在[53]中纠正了文章中关于最小化条件的错误，这一条件比G-期望下的鞅条件要复杂。
　　下面给出本论文的主要结论:
　　1.G-期望下上鞅的分解
　　本章的主要结果建立在SβG(0，T)这族空间上，其中β＞2。有关这一空间的定义可以在Hu等[33，34]文中找到。
　　首先，需要引入一般的非线性(E)f,g-上鞅的定义。简单起见，考虑如下的由1-维G-布朗运动驱动的BSDE(多维的情形同样也有类似结论):YT,ξt=ξ+∫Ttf（s，YT,ξs，ZT,ξs，）ds+∫Ttg(s，YT,ξs，ZT,ξs）ds-∫TtZT,ξsdBs-（KT,ξT-KT,ξt），(1)其中生成元f,g满足如下性质:
　　(H1)存在β＞2，使得对任意y，z，f（·，·，y，z），g（·，·，y，z）∈MβG(0，T);
　　(H2)存在L＞0，使得|f(t，y，z)-f(t，y'，z')|+|g(t，y，z)-gij(t，y'，z')|≤L(|y-y'|+|z-z'|).对任意ξ∈LβG(ΩT)，其中β＞2，定义(E)f,gt,T[ξ]:=YT,ξt.接下来就可以给出(E)f,g-上鞅的定义。
　　定义1.过程{Yt}t∈[0，T]称为是一个(E)f,g-上鞅，如果对任意t≤T，Yt∈LβG（Ωt），其中β＞2，并且(E)f,gs,t[Yt]≤Ys，(∨)0≤s≤t≤T。
　　特别的，如果g≡0，将这一算子记为（E）ft,T[·]。相应的可以定义(E)f-上鞅。
　　简单起见，本章主要研究(E)f-上鞅的分解。受Peng[62]一文的启发，构造了如下的惩罚G-BSDE序列，其中{Yt}t∈[0，T]∈SβG(0，T)为(E)f-上鞅:gnt=YT+∫Ttf（s，yns，zns）+n∫Tt（Ys-yns）ds-∫TtznsdBs-（KnT-Knt）.(2)利用非线性条件期望(E)ft,T[·]的表示以及经典情形下的结论（参见[62]），得到，对所有的n=1，2，…，Yt≥ynt。另外，应用SβG(0，T)中元素的连续性，还得到了如下收敛结果:limn→∞(E)[supt∈[0，T]|Yt-ynt|α]=0，对1＜α＜β.根据以上的分析，就能够得到(E)f-上鞅的Doob-Meyer分解定理:
　　定理1.令Y={Yt}t∈[0，T]∈SβG(0，T)为(E)f-上鞅，其中β＞2。假设f满足(H1)与(H2)。则{Yt}有如下的分解Yt=Y0-∫t0f（s，Ys，Zs）ds+∫t0ZsdBs-At,q.s.，其中{Zt}∈M2G(0，T)，{At}为满足A0=0与A∈S2G(0，T)的非降过程。另外，上述分解是唯一的。
　　对g≠0的情况，运用类似的方法可以得到下面的结论:
　　定理2.令Y=(Yt)t∈[0，T]∈SβG(0，T)为(E)f,g-上鞅，其中β＞2。假设f与g满足(H1)与(H2)。则(Yt)有如下的分解Yt=Y0-∫t0f（s，Ys，Zs）ds-∫t0g（s，Ys，Zs）ds+∫t0ZsdBs-At,q.s.，其中{Zt}∈M2G(0,T)，{At}为连续增过程，A0=0并且A∈S2G(0，T)。另外上述分解是唯一的。
　　利用上面的结论，可以得到如下的PDE粘性解的逆比较定理。
　　推论1.令V:[0,T]×R→R为关于(t，x)一致连续的函数且满足|V(t,x)|≤C(1+|x|k),t∈[0,T],x∈R，其中k为正整数。假设V(t,x)≥ut1,V(t1,·)(t,x),(∨)(t,x)∈[0,t1]×R，t1∈[0，T],其中ut1，V(t1,·)表示(0，t1)×R上满足柯西条件ul1，V(t1，·)(t1，x)=V(t1，x)的PDE(4)的粘性解。则V是(0,T)×R上PDE(4)的粘性上解。
　　2.G-布朗运动驱动的一维反射倒向随机微分方程
　　首先给出向上反射G-BSDE解的定义。方便起见，只考察由一维G-布朗运动驱动的反射G-BSDE。在这里给定如下的参数:生成元f与g，反射壁{St}t∈[0，T]以及终端值ξ，其中生成元为如下映射f(t，w，y，z)，g（t，w，y，z）:[0，T]×ΩT×R2→R.
　　对参数做以下假设:存在β＞2，使得
　　(H1)对任意y，z，f(·，·，y，z)，g（·，·，y，z）∈MβG(0，T);
　　(H2)存在L＞0，使得|f(t，y，z)-f(t，y'，z')|+|g(t，y，z)-g(t，y'，z')|≤L(|y-y'|+|z-z'|);
　　(H3)ξ∈LβG(ΩT)并且ξ≥ST，q.s.;
　　(H4)存在常数c使得St≤c，(∨)t∈[0，T]，并且{St}t∈[0，T]∈SβG(0，T);
　　(H4'){St}t∈[0,T]满足如下的形式St=S0+∫t0b(s)ds+∫t0l(s)ds+∫t0σ(s)dBs，其中{b(t)}t∈[0，T]，{l(t)}t∈[0，T]∈MβG(0，T)，{σ(t)}t∈[0，T]∈HβG(0，T)。
　　现在给出参数为（ξ，f，g，S）的向上反射G-BSDE解的定义。三元组(Y,Z，A)称为参数为(ξ，f，g，S)的反射G-BSDE的解，如果对1＜α≤β，下面条件成立:
　　(a)(Y,Z，A)∈SαG(0，T)并且Yt≥St，0≤t≤T;
　　(b)Yt=ξ+∫Ttf（s,Ys，Zs）ds+∫Tt g(s,Ys，Zs)ds-∫TtZsdBs+(AT-At);
　　(c){-∫t0(Ys-Ss)dAs}t∈[0，T]为递减G-鞅。
　　这里记SαG(0,T)为满足如下条件的过程组(Y,Z,A)的集合，其中Y∈SαG(0，T)，Z∈HαG(0，T)，A为连续非降过程满足A0=0以及A∈SαG(0，T)。简单起见，只考虑g≡0以及l≡0的情形。其他情形下类似结论成立。下面给出反射方程解的先验估计，由此能够得到解的唯一性。

目录

声明

摘要

第一章 G-期望基础知识

§1．1 G-期望与G-It(o)积分

§1．2 G-It(o)微积分与G-BSDE

第二章 G-期望下上鞅的分解

§2．1 前言

§2．2 经典情形下惩罚BSDE的性质

§2．3 由G-BSDE生成的非线性期望以及相应的上鞅

§2．4 (E)f-上鞅以及相关的PDE

第三章 G-布朗运动驱动的一维反射倒向随机微分方程

§3．1 前言

§3．2 反射G-BSDE以及相应的先验估计

§3．3 惩罚方法以及收敛性质

§3．4 主要结论

§3．5 向上反射G-BSDE与相关的全非线性抛物方程

§3．5．1 带反射的全非线性PDE解的随机表示

§3．5．2 带反射的全非线性PDE解的唯一性

§3．6 波动率不确定性下美式期权定价问题

第四章 向下反射G-BSDE

§4．1 向下反射G-BSDE解的存在性

§4．2 向下反射G-BSDE解的性质

第五章 G-期望下带反射的随机最优控制问题

§5．1 引言

§5．2 带反射的随机最优控制问题

§5．3 动态规划原理

§5．4 HJBI方程的随机表示

参考文献

博士在读期间完成论文情况

致谢