两类非线性偏微分方程组解的性质

摘要

随着科学技术的不断发展,各种各样的非线性问题日益引起人们的广泛关注.非线性偏微分方程源于应用数学,物理学,控制论等各种应用学科,是目前非线性科学领域中最为活跃的研究课题之一.非线性粘弹性波动方程组和非线性积分微分方程组的初边值问题是近年来讨论的热点,也是目前偏微分方程中的十分重要的研究领域.
　　 本文共分为两章.
　　 第一章,我们研究非线性粘弹性波动方程组初边值问题{utt-△u-△utt∫t0h1(t-s)u(s)ds+k1(u,v)+ut=0,vtt-△v-△vtt+∫t0h2(t-s)u(s)ds+k2(u,v)+vt=0,inΩ×(0,∞),u=v=0,on(6)Ω×(0,∞),u(x,0)=u0(x),ut(x,0)=u1(x),inΩ,{v(x,0)=v0(x),vt(x,0)=v1(x),inΩ,
　　 解的衰减性,其中Ω是Rn(n≥1)中具有光滑边界的有界区域,u0,v0,u1,v1是已知函数.松弛函数h1,h2和非线性项k1(u,v),k2(u,v)满足下面的条件:(H1)h1,h2:R+→R+是非增的可微函数,且满足h1(0)>0,1-∫∞0h1(s)ds=ι1>0,h2(0)>0,1-∫∞0h2(s)ds=ι2>0.(H2)存在两个正常数ξ1和ξ2使得h'1≤-ξ1h1(t),t≥0,h'2(t)≤-ξ2h2(t),t≥0.(H3)存在非负函数F(u,v)使得(6)F/(6)u=k1(u,v),(6)F/(6)u=k2(u,v),uk1(u,v)+vk2(u,v)-F(u,v)≥O
　　 并且存在常数d>O使得|k1(ξ,ζ)|≤d(|ξ|β1+|ζ|β2),(A)(ξ,ζ)∈R2,|k2(ξ,ζ)|≤d(|ξ|β3+|ζ|β4),(A)(ξ,ζ)∈R2,
　　 其中β2≥1,(n-2)β2≤n,I=1,2,3,4.注:存在许多满足(H3)的例子,如k1=|u|ρ-2u|v|ρ和k2=|v|ρ-2v|u|ρ,
　　 其中当n=1,2时ρ>1,且当n≥3时1<ρ≤(n-1)/(n-2).
　　 本章分三节,在第一节,给出在证明过程中将用到的的几个重要结果.在第二节,为证明整体解的衰减性而作了若干准备工作.第三节,给出非线性粘弹性波动方程组初边值问题整体解的衰减性的证明.
　　 第二章,我们研究带有Neumann或者Dirichlet边值条件的非线性积分微分方程组(2.1.1)倒时解的惟—性,{ut-div[f((φ)(x,t))|▽u|p-2▽u]=0,inΩT(2.1.1)vt-div[f((φ)(x,t))|▽v|p-2▽v]=0,inΩT,
　　 其中p≥2,Ω是Rn中具有光滑边界的有界区域,ΩT:=Ω×(0,T].向量v=(v1,v2,…,vn)是单位外法向量,(φ)(x,t)=∫t0(|▽u|2+|▽v|2)dT,f(z)∈C1[0,+∞),f(z)≥0,f'(z)≤0.
　　 本章共分为两部分,第一部分研究带有Neumanm边界条件的非线性积分微分方程组问题,并且给出相应结论的物理解释.第二部分用类似于第一部分的方法和技巧研究了带有Dirichlet边界条件的非线性积分微分方程组问题.

目录

文摘

英文文摘

引言

第一章 非线性粘弹性波动方程组解的衰减性

§1.1 几个重要结果

§1.2 若干引理

§1.3 整体解的衰减

第二章 一类积分微分方程组的倒时解

参考文献

致谢