有限差分方法在美式期权定价中的应用

摘要

目前，金融市场上交易的期权大部分是美式期权，美式期权的定价问题成为金融数学的重要研究课题之一。对于欧式期权，Black和Scholes早已给出解析形式的定价公式。然而，对于可以提前支付的美式期权定价，并不存在这样的解析表达式，无法获得精确解，因此发展各种计算美式期权价格的数值方法具有重要的理论价值和实际意义，数学手段成为研究并评估美式期权的价格一种重要的手段。
　　 在诸多的数值方法中，有限差分方法因为思想简洁，计算效率高而被广泛应用。本文结合数学变换，将经典的Black-Scholes(B-S)方程转化为常数型对流扩散型微分方程。基于有限差分方法的基本思想，采用变步长网格剖分方法对计算区间进行剖分，给出微分算子对应的一阶，二阶精度逼近格式，得到B-S微分方程对应的变步长有限差分隐格式，将B-S微分方程转化成一系列线性方程组。容易验证线性方程组对应的系数矩阵是对角占优的三对角矩阵，直接采用追赶法求解，编写FORTRAN程序开展数值工作以验证本文方法的有效性。
　　 结合变步长有限差分隐格式，本文针对实际风险投资问题进行了具体探讨。首先，考察有限差分格式对期权定价问题的有效性，用中心格式对美式看跌期权定价问题进行了数值研究；其次，针对无红利支付的美式看跌期权定价问题，用本文格式，Crank-Nicolson(C-N)格式进行了数值模拟，并与B-S公式的近似值进行了数值比较，考察了无风险利率，年波动率对期权价格的影响；最后，对有红利支付的美式期权定价问题进行了数值研究。用二阶逼近格式求解了不支付红利和固定支付红利的美式看跌期权，考虑固定支付红利的美式看跌期权定价问题，给出有红利支付的数学模型并与C-N差分方法及B-S公式的结果进行数值比较。同时，考察红利率的变化和支付红利的时间及数额对期权价格的影响。数值实验表明，变步长有限差分格式的数值解与实际期权交易价格更接近，计算效率高。

目录

文摘

英文文摘

基本符号对照表

第一章 引言

第二章 期权定价的基本理论

2.1 期权定价的基本概念

2.1.1 期权的定义

2.1.2 期权的种类及划分

2.2 期权定价的发展

2.3 Black-Scholes方程

2.3.1 基本假设

2.3.2 Brown运动

2.3.3 Ito公式

2.3.4 △-对冲

2.3.5 Black-Scholes方程的推导

第三章 美式期权定价的有限差分格式

3.1 有限差分方法的基本知识

3.2 美式期权定价的中心差分格式

3.3 数值算例

第四章 美式期权定价的变步长有限差分方法

4.1 变步长有限差分方法

4.1.1 一阶变步长差分逼近

4.1.2 二阶变步长差分逼近

4.2 算法描述

4.3 数值算例

第五章 有红利支付的美式期权定价模型

5.1 算法步骤

5.2 数值算例

第六章 总结与展望

6.1 结论

6.2 展望

参考文献

致谢