微分算子特征值的一种数值解法与对称算子自共轭扩张的边值空间理论

摘要

本文围绕(微分)算子领域的特征值数值计算、对称算子自共轭扩张及微分算子自共轭域描述三个方面进行了研究。关于微分算子特征值的数值计算，无论在理论上，还是在实践中，都有着重要的意义。事实上，能直接给出解析解的微分算子只有很少几类，但是对于数值方法，特别是随着现代高速计算机的出现与更新，在定量解决各种工程技术问题时显出越来越大的威力。同时我们更应该注意到，数值结果反过来可以进一步启发人们得出更加深刻的定性结果。数值分析在理论研究中起着越来越重要的作用。在流体和磁流体等理论中提出的高阶(非)自共轭问题、多层介质中的热传导或扩散问题和边条件中含有谱参数的问题是微分算子谱理论中的几个新的重要问题，过去的数值方法多是针对二阶自共轭问题，近些年，Greenberg和Marletta提出了一种基于Atkinson-Prufer振动理论的打靶法，但是这种方法在求解微分方程初值问题时，采用的是分段常系数逼近的办法，在处理高振动系数问题时有一定的缺陷。针对以上问题，提出了一种全新的方法，提供了处理这些问题的一种统一的框架，通过特征方程ly(x，λ)=λy(x，λ)(其中，l表示n阶常微分算式，λ是特征参数.)一般解的一种关于特征参数的幂级数表示，我们发现并证明了其系数满足由微分方程构成的一种递推关系。根据Volterra积分算子的性质，给出并证明了一种求解系数函数ai(x)的方法，由此构造了求解特征方程幂级数形式解的方法。进而证明了这种方法在数值上的稳定性，并给出了这种幂级数解的截断误差估计.由幂级数解，可计算出相应的特征行列式(其零点即特征值)，再应用求根工具可求出特征值的数值解。给出了相应的特征函数的计算方法.最后，通过具体的算例，验证和分析了我们的计算方法。本算法结构简单，思路清晰，适用性广，不仅可以求解二阶自共轭问题，还可求解上述提到的高阶(非)自共轭，不连续Sturm-Liouville问题等这些新问题。
　　 本文中借助所发展的一般的对称算子自共轭扩张的边值空间理论，重新给出常微分算子自共轭域的解析描述.具体地，对于正则的和奇异的常微分算子以及不连续的Sturm-Liouville算子，运用一种简单的边界映射和Cm(m表示相应算子的亏指数)上的酉变换，我们“参数化”的给出了所有的自共轭扩张。本研究分为八个部分：第一章绪论，介绍本文所研究问题的背景及本文的主要结果；第二章简单介绍产生微分算子谱问题的几个实际背景；第三章介绍利用分离特征参数法求解特征方程含参数解的一般方法，以及相应特征函数的计算方法；第四章和第五章分别讨论自共轭和非自共轭问题特征值的数值解法，及相应的算例和数值分析；第六章讨论对称算子自共轭扩张的边值空间理论；第七章讨论常微分算子自共轭域描述的边值空间方法；第八章讨论不连续Sturm-Liouville问题自共轭域描述的边值空间方法。

目录

文摘

英文文摘

论文说明：主要符号表

声明

第一章 绪论

1.1 微分算子及其谱理论

1.2 对称算子扩张的边值空间理论

1.3 微分算子特征值的数值解法

1.4 本文主要结果和文章结构

第二章 微分算子谱问题提出的几个实际背景

2.1 现代医学中的问题

2.2 量子物理中的问题

2.3 现代金融数学中的问题

第三章 特征值特征函数计算的分离特征参数法

3.1 预备知识

3.2 特征方程的含参数解

3.3 误差与稳定性分析

3.4 含参数解的截断误差

3.5 特征行列式△(λ)零点计算的误差分析

3.6 特征函数的计算方法

第四章 自共轭问题特征值的数值解法

4.1 特征值计算的算法设计

4.2 例子及数值结果

第五章 非自共轭问题特征值的数值解法

5.1 特征值计算的算法设计

5.2 例子与数值结果

5.3 总结

第六章 对称算子自共轭扩张的边值空间理论

6.1 预备知识

6.2 一般的边界映射与自共轭扩张的关系

6.3 边界映射与经典扩张理论的关系

6.4 由一般的边界映射构造一切自共轭域

第七章 常微分算子自共轭域完全描述的边值空间方法

7.1 正则情形

7.2 奇异情形

第八章 不连续Sturm-Liouville问题自共轭域描述的边值空间方法

8.1 预备知识

8.2 不连续Sturm-Liouville问题自共轭描述的边值空间方法

总结与展望

参考文献

致谢

攻读学位期间已完成的学术论文