非标准混合元方法分析及数值模拟

摘要

混合有限元方法在微分方程数值解法中扮演着重要的角色.本文主要围绕分裂正定混合有限元方法和H1-Galerkin混合有限元方法这两个方面开展研究工作.
　　 羊丹平于2001年针对多孔介质中可压缩驱动问题的非线性抛物型压力方程提出新的分裂正定混合有限元方法.该方法具有如下优点:形成混合有限元系统的系数矩阵是对称正定的；流函数方程不依赖于压力方程,进而易于求得流函数的近似解.在这里,我们利用分裂正定混合元方法研究了一些发展方程,取得的主要结果如下:
　　 ●研究一类二阶伪双曲方程的分裂正定混合有限元方法,依照不同的物理量,提出两种分裂混合格式.在所提出的程序中,辅助变量σ=a(x)()u或σ=a(x)(()ut+()u)的逼近解能够不依赖于未知纯量函数u的逼近解而独立求解,不需要求解方程组的耦合系统.证明了半离散混合有限元解的存在唯一性,并得到了空间半离散和全离散格式的误差估计.
　　 ●通过引入两个变换q=ut和σ=a(x)()u+b(x)()ut,并求解关于()u的常微分方程,进而提出了粘弹性波动方程的一个新的分裂正定混合有限元方法.与传统的混合有限元相比有如下优势:所提出的格式能够将变量σ独立于u和q而求解；含有σ的方程的系数矩阵是对称正定的,易于程序实现.证明了半离散和全离散格式误差估计,并证明了半离散混合元解的存在唯一性.最后,数值结果表明所提出的格式是可行的.我们不难发现该格式具有普遍性,可以用来求解如Sobolev方程和伪双曲方程等重要的发展方程.
　　 1998年Pani针对抛物型偏微分方程提出了H1-Galerkin混合有限元方法,该方法较传统的混合有限元方法有如下优势:避免了LBB相容性条件的限制；混合有限元空间Vh和Wh的选取比较自由,空间中的多项式次数可以不同；再者,对流量的L2模估计可以得到较好的阶数.本文中,我们将应用H1-Galerkin混合元方法求解一些重要的发展方程,同时基于H1-Galerkin混合元方法提出一些新的数值格式,获得以下一些结果:
　　 ●利用H1-Galerkin混合有限元方法研究三类非线性发展方程(RLW—Burgers方程,Burgers-Huxley方程,SRLW方程).针对RLW-Burgers方程给出了完善的半离散和全离散格式的误差分析,证明了混合有限元解的存在唯一性.最后,一些数值结果表明H1-Galerkin混合有限元方法对于这三类非线性发展方程都是行之有效的.
　　 ●引入时空辅助变量q-()ut,提出半线性强阻尼波动方程的新型H1-Galerkin混合有限元数值格式.该方法能够将原方程在时空两个方向同时降阶,得到一阶积分一微分混合系统.证明了一维情况下半离散格式和全离散格式的最优收敛阶误差估计,并将该数值格式推广应用到了多维情形.
　　 ●到目前为止,H1-Galerkin混合有限元方法研究的问题仅局限于二阶发展方程问题.然而对于高阶发展方程,特别是重要的四阶发展方程问题的研究却没有出现.本文首次提出四阶发展方程的H1-Galerkin混合有限元方法,为了给出理论分析的需要,我们考虑四阶抛物型发展方程.通过引进三个适当的中间辅助变量,形成四个一阶方程组成的方程组系统,提出四阶抛物型方程的H1-Galerkin混合有限元方法.得到了一维情形下的半离散和全离散格式的最优收敛阶误差估计和多维情形的半离散格式误差估计,并采用迭代方法证明了全离散格式的稳定性.最后,通过数值例子验证了提出算法的可行性.在一维情况下我们能够同时得到未知纯量函数、一阶导数、二阶导数和三阶导数的最优逼近解,这一点是以往混合元方法所不能得到的,并且该算法可以应用于四阶双曲方程等高阶发展方程问题.
　　 ●引入两个新的辅助变量,提出伪双曲方程的基于H1-Galerkin混合有限元方法的新的数值格式.所提出的格式能够形成三个微分子格式,不需要求解方程组的耦合系统.给出了一维情况下半离散和Crank-Nicolson-Galerkin全离散格式最优收敛阶误差估计.并且该格式对LBB相容性条件不作要求.最后,通过数值算例验证了所提出算法的有效性.
　　 ●利用扩展混合有限元方法和H1-Galerkin混合有限元方法相结合的技巧,研究一维RLW-Burgers方程的H1-Galerkin扩展混合有限元方法.该方法同时保持了扩展混合元方法和H1-Galerkin混合元方法的优点.证明了半离散混合有限元解的存在唯一性和格式的稳定性,并得到了未知纯量函数、梯度和流量的半离散和全离散格式最优收敛阶误差估计,最后,一些数值结果表明了算法的可行性.
　　 本文结构安排如下:第一章简述了混合有限元方法发展状况和本文的主要结果；第二章我们研究了伪双曲方程的两类分裂正定混合元方法；第三章提出粘弹性波动方程的新型分裂正定混合有限元方法；第四章给出三类非线性发展方程(RLW-Burgers方程,Burgers-Huxley方程,SRLW方程)的一些H1-Galerkin混合元程序的数值结果；第五章通过引入一个新的辅助变量,研究四阶半线性强阻尼波方程的新型H1-Galerkin混合有限元方法；第六章我们首次提出四阶发展方程的H1-Galerkin混合有限元方法,并给出了一些数值结果.第七章提出伪双曲方程的新的分裂式H1-Galerkin混合有限元方法；最后,第八章我们利用H1-Galerkin.扩展混合元方法研究了RLW-Burgers方程问题.

目录

文摘

英文文摘

第一章 绪论

1.1 有限元方法概述

1.2 混合有限元发展状况介绍

1.3 本文主要结果和文章结构

第二章 伪双曲方程的分裂正定混合元方法

2.1 引言

2.2 系统(Ⅰ)的分裂正定混合方法

2.3 系统(Ⅱ)的分裂正定混合方法

2.4 结论

第三章 粘弹性波动方程的基于两个变换的分裂正定混合元法

3.1 引言

3.2 分裂正定混合弱形式

3.3 半离散格式误差估计

3.4 全离散误差估计

3.5 数值算例

3.6 结论

第四章 三类非线性发展方程的H1-Galerkin混合元方法

4.1 引言

4.2 半离散格式及误差估计

4.3 全离散格式及误差估计

4.4 数值模拟

4.5 结论

第五章 半线性强阻尼波动方程的H1-Galerkin混合元方法

5.1 引言

5.2 半离散H1-Galerkin混合元格式及误差估计

5.3 全离散H1-Galerkin混合元格式及误差估计

5.4 二维和三维情形的H1-Galerkin混合有限元方法

5.5 结束语

第六章 四阶抛物方程的H1-Galerkin混合有限元方法

6.1 引言

6.2 一维H1-Galerkin混合有限元格式

6.3 半离散格式误差估计

6.4 全离散格式稳定性及其误差估计

6.5 多维情形的半离散误差估计

6.6 数值算例

6.7 结束语

第七章 伪双曲方程的分裂式H1-Galerkin混合有限元方法

7.1 引言

7.2 半离散格式及误差估计

7.3 Crank-Nicolson-Galerkin全离散格式及误差分析

7.4 数值算例

第八章 RLW-Burgers方程的H1-Galerkin扩展混合元方法

8.1 引言

8.2 存在性,唯一性和稳定性

8.3 半离散误差估计

8.4 全离散格式及误差估计

8.5 数值实验

8.6 结论

总结与展望

参考文献

符号说明

致谢

攻读学位期间已完成的学术论文