高维广义复空间中M-J混沌分形图谱的构造与研究

摘要

混沌分形理论被认为是继相对论、量子力学之后，人类认识世界和改造世界的最富有创造性的第三次革命．混沌分形理论的基本思想起源于20世纪初，是一门正在蓬勃发展的新学科．它描述的是一个充满创新的、开放性的世界，是一个极其复杂的世界．其研究对象也不再是有着确定性规律的单一事件，而是伴随着大量的不确定性和随机性的动力系统，甚至是人类社会以至宇宙这样的超级系统．混沌分形理论以全新的自然观和方法论，为我们描述了一个有序与无序统一的、确定性与随机性统一的、即自相似又非自相似的、即完全又不完全的、即稳定又不稳定的世界．这是一个遵循辩证法规律的和谐统一的世界．今天，混沌分形理论、计算机科学理论的结合，在探索、描述及研究客观世界的复杂性方面发挥了巨大作用．其作用涉及到几乎整个自然科学和社会科学．混沌分形已被认为是研究非线性复杂问题最好的一种语言和工具．并受到各国政府及学者的重视和公认，成为举世瞩目的学术热点． 在混沌分形理论的形成与发展过程中，针对具体的问题人们提出了许多特殊的解决办法．如：几何化的庞加莱的拓扑动力学、柯尔莫哥洛夫的统计方法、费根鲍姆的重整化群以及数值化的泛函分析等．这些方法在混沌分形理论的研究中起到了重要作用．随着人们认识的深入以及理论研究的进展，这些方法也在逐步地完善，并形成一些新的更为有效的方法和手段． 本文在研究过程中所采用的指导思想和方法是导师朱伟勇教授所大力提倡的计算机数学实验．这是一个利用数理统计、拓扑、泛函分析、重正化群、频谱分析、复数与超复数理论(Hamilton四元数)等诸多数学原理与计算机技术相结合的新方法．利用这一研究方法，在基于复空间中M-J混沌分形图谱研究的基础之上，研究高维广义复空间中的M-J混沌分形图谱，力求使大量的数值化的数学计算与图形化几何化的结构分析完美地结合，展现出M-J混沌分形图在高维广义复空间中的结构与性质．为更进一步揭示混沌分形的内在本质，以及混沌分形理论在科学领域中的更进一步应用提供研究基础． 本文的主要工作和创新点包括如下内容： (1)在对复空间以及广义复空间中Mandelbrot集和Julia集的研究基础之上，利用四元数及其性质，将基于参数平面的Mandelbrot集和基于动力平面Julia集的可构造性推广到一个高维广义复空间中，构造了一系列高维空间中Mandelbrot集和Julia集图像． (2)根据现有的空间理论以及研究成果，在度量空间和范数的基础上建立了基于Hamilton四元数运算体系上的广义复数巴拿赫空间．并在这一空间上，定义了四元数的M集和J集，为在高维空间中对广义M集和J集的进一步研究提供了一个初步的研究结果． (3)针对高维空间中的M集，利用四元数的性质，对四元数构造的M集的界作出了估计，得到了高维空间中四元数M集的界，即对于四元数的f<(m,w)>(q)=q<'m>+w的M集M<,m>有界，其界为四元数的模不大于m-1平方根2．对于四元数M集的界进行估计，可以提高计算机程序的效率，特别是在利用逃逸时间算法绘制四元数M集和四元数J集的时候，一个有效的界的估计可以大大提高搜索范围的有效性，从而可以节省大量的运算时间和存贮空间来得到更为细致的四元数混沌分形图谱． (4)基于空间变换的思想，利用单纯形坐标体系下的投影变换得到了四维Bannach空间与三维Euclid空间的对应关系，并应用这一对应关系，在国内首次独立构造了基于单纯形投影变换的高维广义M集和J集，得到了四维空间中四元数M集与J集在三维空间中的映像．为分形理论在多维动力系统的研究与发展，提供了一个有益的探讨和尝试． (5)对复空间中的准周期点(Misiurewiz点)和准周期轨道作了深入研究，并将这一研究推广到了高维空间中．在高维空间中四元数M集中发现了周期点、Misiurewiz点的存在，为在高维空间中进一步研究M集的周期点、Misiurewiz点性质作了有益的尝试． (6)综述了Fibonacci序列是通向混沌的又一途径．Fibonacci序列是构成混沌分形图谱的本质，同时也揭示了混沌分形图谱拓扑不变性的规律．随着Fibonacci序列的增加，周期数也由有理数向无理数过渡，最终形成介于有理数(可数)与无理数(不可数)之间的混沌过程．

目录

文摘

英文文摘

声明

第一章混沌分形理论的产生与发展

1.1 人类的认识与混沌的产生

1.1.1古代中国文化中的混沌

1.1.2古代西方文明中的混沌

1.2 确定性的世界与不确定的问题

1.2.1确定性世界观的发展

1.2.2确定性世界的建立与繁荣

1.2.3疑惑中的辉煌

1.2.4确定性的丧失

1.3 现代混沌理论的发展

1.3.1早期探索

1.3.2重大突破

1.3.3混沌研究的高潮

1.4 混沌分形理论的应用

1.5 本文的写作思想

1.6 本章小结

第二章复空间中的M-J混沌分形图谱

2.1 混沌与分形

2.2 分形与分形空间

2.2.1分形的定义

2.2.2自相似性

2.2.3标度不变性

2.2.4分形空间

2.3测度与维数

2.3.1欧氏维数与拓扑维数

2.3.2测度

2.3.3 Hausdorff测度

2.3.4分形集维数

2.4 复空间中的分形

2.4.1 Julia集及其性质

2.4.2 Mandelbrot集及其性质

2.4.3准周期轨道与准周期点

2.5 分形图谱的计算机构造

2.5.1分形图的IFS构造法

2.5.2逃逸时间算法

2.5.3反函数迭代法

2.6 本章小结

第三章广义复空间中的M-J混沌分形图谱

3.1 广义复空间中M-J集

3.1.1广义Julia集的定义与性质

3.1.2广义Mandelbrot集的定义与性质

3.1.3复映射f(z)=zn+c的对称性

3.1.4对称旋转逃逸时间构造法

3.2 周期芽苞的嵌套规律

3.2.1广义M-J集与周期芽苞

3.2.2周期芽苞的嵌套规律

3.3 广义M-J集的标度性质

3.3.1复映射z2+c构造M集的普适常数

3.3.2复映射z2+c 构造J集的标度因子

3.3.3复映射z-2+c构造M集的普适常数

3.3.4复映射z-2+c构造J集的标度因子

3.4广义M-J集对应关系

3.4.1周期特征

3.3.2对应关系

3.5 本章小结

第四章高维空间中的M-J图谱研究

4.1 空间理论及其意义

4.1.1欧氏空间

4.1.2向量空间

4.1.3希尔伯特空间

4.1.4 巴拿赫空间

4.2 四元数及其运算体系

4.2.1四元数的定义与性质

4.2.2运算规则

4.2.3四元数与空间旋转

4.3 空间变换与单纯形变换

4.3.1空间变换

4.3.2空间变换的一般算法

4.3.3单纯形变换

4.4 四维空间中M-J集混沌分形图

4.4.1空间中的四元数集合

4.4.2四元数M-J集的定义

4.4.3四元数M-J集的性质

4.5 本章小结

第五章四元数M-J混沌分形图谱的构造

5.1 四元数的M集与J集构造方法

5.1.1四元数的逃逸时间算法

5.1.2单纯形映射下的四元数M-J集

5.2 四维空间中的M-J混沌分形图谱

5.3 本章小结

第六章结束语

6.1论文的概述

6.2 通向混沌的新途径

6.3 创新点

6.4未来的研究工作

参考文献

致谢

攻读学位期间发表的论著、获奖情况

作者简介