具有柏拉图体对称特性的球面对称动力系统的可视化研究

摘要

通过考察相距很近的两个初始点的轨道在长期迭代过程中的发散情况所确定的李雅普诺夫指数可以用来衡量一个动力系统的动力学特性。1993年，威斯康星大学的J.C.SPROTT教授在论文“AUTOMATIC GERERATION OF STRANGE ATTRACTORS”中，给出了二维李雅普诺夫指数的一种计算方法，并以该指数作为动力系统特性的判别标准，成功生成了混沌吸引子图形。在该算法的启发下，本文提出了一个由球面弧长计算球面动力系统的三维Ljapunov指数的数值计算方法并研究了相关的动力系统图形化问题。
　　 1995年，K.W.Chung和H.S.Y.Chan构造出了3维球面上的7组对称迭代映射，提出了根据球面点的轨道的收敛性生成球面图形的算法，这种算法只适用于动力系统有1周期吸引轨道的情况，用这种算法不能实现自动搜索参数，构造能够生成充满Julia集和混沌吸引子的动力系统。本文将由球面弧长计算球面动力系统的Ljapunov指数的数值计算方法与自动搜索参数技术相结合，实现了自动构造基于柏拉图体中的正十二面体和正二十面体的球面对称动力系统，大量生成了球面混沌吸引子和球面充满Julia集图形。
　　 动力系统吸引周期轨道的可视化表达，可以更直观的观察和分析复杂的动力系统的轨道特性。本文通过三维投影展示了正十二面体和正二十面体的实例并分析了球面、正多面体与其上的点的周期轨道三者之间的关系。本文主要的研究成果如下:
　　 (1)提出了一个由球面弧长计算球面动力系统的Ljapunov指数的数值计算方法，并将该算法转化为计算机程序实现。
　　 (2)在基于正十二面体或正二十面体对称特性的动力系统的计算公式中引入了6个实参数，并自动搜索参数获得具有不同动力学特性的动力系统。当Ljapunov指数大于0时，该组参数可用于构造生成球面混沌吸引子图形;当Ljapunov指数小于0时，该组参数可用于构造球面充满Julia集图形。生成了具有正十二面体和正二十面体对称特性的球面对称混沌吸引子和充满Julia集图形。
　　 (3)以两组参数下动力系统生成充满Julia集图形为例，直观地呈现了通过迭代计算获得的动力系统在球面上的对称轨道。在对正十二面体与正二十面体相关对称特性分析的基础上，通过三维投影验证了正十二面体与正二十面体的各个面所对应的每个球面空间划分构成一个独立的轨道区域，通过对其进行相关旋转操作，得到了整个动力系统在球面上的完整周期轨道。对轨道点的坐标数据进行了整理和分析，验证了迭代映射的对称性。
　　 (4)通过自动选取参数构造球面动力系统，生成了大量的球面上的充满Julia集图形与混沌吸引子图形。

目录

声明

摘要

第一章 绪论

1．1 混沌科学的产生与发展

1．2 分形的产生和发展状况

1．3 混沌与分形理论的研究意义

1．3 课题提出及主要研究内容

第二章 混沌分形的基本概念及作图方法

2．1 混沌

2．1．1 定义

2．1．2 混沌集中的不稳定性

2．1．3 奇怪吸引子与Henon映射

2．1．4 初始条件的敏感依赖性和李雅普诺夫指数

2．2 分形

2．2．1 对分形的认识

2．2．2 分形维数的数值计算

2．3 混沌分形的基本作图方法

2．4 本章小结

第三章 由球面弧长计算球面对称动力系统的Ljapunov指数

3．1 球面上两点间的关于原点的空间夹角及点绕平面法向量的旋转

3．1．1 过原点的平面法向量

3．1．2 球面两点间的关于原点的空间夹角

3．1．3 点绕平面法向量的空间旋转

3．2 计算球面动力系统的Ljapunov指数

3．3 球面弧长算法有效性验证

3．3．1 球内弦长法

3．3．2 采用的迭代映射及球面对称图形

3．4 本章小结

第四章 基于正十二面体和正二十面体的球面动力系统

4．1 球面对称动力系统的迭代式

4．2 搜索球面迭代映射参数并构造球面图形

4．3 球面对称动力系统的充满Julia集

4．3．1 正十二面体和正二十面体的几何特征

4．3．2 由球面动力系统分析充满Julia集的旋转对称特性

4．4 本章小结

第五章 具有正十二面体或正二十面体对称特性的球面动力系统的轨道研究

5．1 球面空间划分

5．2 球面点向相应球内接正多面体表面的投影

5．3 关于正二十面体的球面动力系统的吸引周期轨道

5．3．1 相应于球内接正二十面体的球面轨道

5．3．2 基于正二十面体的球面动力系统

5．4 关于正十二面体的球面动力系统的吸引周期轨道

5．4．1 相应于球内接正十二面体的球面轨道

5．4．2 基于正十二面体的球面对称动力系统

5．4．3 球、正多面体以及周期轨道三者之间的关联

5．5 轨道建立的算法改进

5．5．1 建立轨道

5．5．2 建立轨道的效率

5．5．3 改进建立轨道的算法

5．6 本章小结

第六章 基于球内接正多面体的球面混沌吸引子和充满Julia集图形图库

6．1 球内接正十二面体和正二十面体的球面混沌吸引子图形

6．2 球内接正十二面体和正二十面体的球面充满Julia集图形

6．3 球内接六面体和八面体的球面吸引子与充满Julia集图形

第七章 结论

参考文献

作者简介

致谢