一类半线性椭圆方程和Kirchhoff型方程解的存在性

摘要

在研究非线性微分方程时，很多学者假设非线性项f(x，t)满足著名的(AR)条件，即Ambrosetti-Rabinowitz条件.(AR)条件在保证所讨论的椭圆方程所对应泛函的(PS)序列有界以及方程是否存在解等方面发挥了重要的作用.但是，在实际应用中，很多函数并不满足(AR)条件.本文的主要工作就是在假设椭圆方程不满足(AR)条件的前提下，利用没有(AR)条件的山路引理和一种变形了的山路引理来分别研究半线性椭圆方程和Kirchhoff型方程解的存在性.
　　(1)讨论半线性椭圆方程{-△u=-λu+u|u|p-2+f(x，u)， x∈Ω,u=0， x∈(e)Ω，其中Ω是RN中具有光滑边界(e)Ω的有界区域.首先，证明方程所对应的Euler-Lagrange泛函I满足山路引理几何性质，得到泛函的(PS)序列.其次，证明该序列有界.再次，证明该有界的(PS)序列有收敛的子列.从而得到了方程解的存在性定理.最后，又根据f(x，u)的奇偶性对所讨论方程的解的个数进行了说明.
　　(2)考虑Kirchhoff型方程{-(a+b∫Ω|Du|2dx）△u=f(x'u），x∈Ω，x∈(e)Ω.
　　首先，先来证明若一个序列是(Ce)序列，则它有界.然后证明有界的(Ce)序列有强收敛的子列，它收敛到一个点，接下来以变形了的山路引理为工具，证明方程所对应的泛函I满足山路引理几何性质，得到泛函的(Ce)序列.再根据前面已证得的结论得到该(Ce)序列收敛到的那个点即为所讨论方程的一个解.

目录

声明

摘要

第1章 绪论

1．1 历史背景

1．2 本文的主要工作

第2章 一类半线性椭圆方程Dirichlet问题解的存在性定理

2．1 预备知识

2．2 半线性椭圆方程非平凡弱解的存在定理

2．3 古典解的存在定理

2．4 λ在更大范围上方程解的存在情况

第3章 Kirchhoff型方程解的存在性定理

3．1 准备工作

3．2 Kirchhoff型方程解的存在定理

第4章 总结

参考文献

致谢