含Hardy位势和临界指数的非线性椭圆方程解的存在性

摘要

最近，非线性微分方程的研究越来越多，并且它在实际的应用过程中也起着举足轻重的作用.在研究的初始阶段，人们主要在Ambrosetti-Rabinowitz(简称AR)条件存在的情况下证明山路引理的条件，从而得到非线性偏微分方程解的存在性.后来人们试图减弱(AR)条件甚至去掉（AR）条件来得到非线性偏微分方程解的存在性.本文就是在不满足(AR)条件下，首先将研究方程的解转化为该微分方程所对应的能量泛函的临界点，从而利用山路引理来得到解的存在性.
　　本文第1章对此类问题研究的现状进行了概述.
　　第2章的主要工作是讨论一类p-Laplace方程{-div（a（|Dup）|Du|p-2 Du)=μ|u|p-2u/|x|+f(x，u)，x∈Ω，u=0,x∈aΩ的解的存在性.将问题转化为求泛函的临界点问题，再利用所给出的条件来证明泛函满足(PS)条件和山路引理的条件，从而得到上述方程解的存在性.
　　第3章的主要工作是求一类椭圆型方程的边值问题{-div(|Du|p-2Du)-μ|u|p-2u|x|p=|u|p*(s)-2u/|x|5+λf(x)up-1+vg（x，u），x∈Ω\{0}，u=0，x∈aΩ的解的存在性.将问题转化为求泛函的临界点问题，再利用所给出的条件来证明泛函满足(PS)条件和山路引理的条件，同时利用Ekeland变分原理和极大极小原理来得到上述方程的解.

目录

声明

摘要

第1章 绪论

1．1 引言

1．2 一类超线性椭圆型偏微分方程边值问题解的存在性

1．3 一类含临界指数的椭圆型方程边值问题解的存在性

第2章 含Hardy位势的超线性椭圆方程角翠的存在性

2．1 问题与假设

2．2 预备知识

2．3 几个重要的引理

2．4 定理的证明

第3章 含Hardy-Sobolev临界指数的椭圆方程解的存在性

3．1 问题与假设

3．2 几个重要的引理

3．3 定理的证明

第4章 总结

参考文献

致谢