求解线性边值问题的高精度差分法

摘要

现代的科学、技术、工程中的大量数学模型都可以用微分方程来描述，很多自然科学的基本方程本身就是微分方程，从微积分理论形成到现在，人们一直用微分方程来描述、解释或预见各种自然现象，不断取得了显著的成效.但是，令人感到遗憾的是，绝大多数的微分方程(特别是偏微分方程)定解问题的解不能以实用的解析解形式来表示.因此，对常微分方程的数值解法的研究就有了很重要的现实意义。
　　 求解常微分方程边值问题的有效方法之一就是有限差分法，差分法就是利用差商代替导数(数值微分)或者积分插值(数值积分)的方法来构造差分格式.为了构造具有较高截断误差阶的差分格式，近几年来有些学者提出了利用样条函数等方法来近似替代未知函数，构造出样条差分格式，但高阶数值微分公式和关于高次样条函数的高阶导数的计算都较为困难，同时构造差分格式引起的计算量非常大.近期又出现了变分迭代法[4，5]，修正分解法[6]，同伦慑动法[8]等求解高阶微分方程的方法，但是有的方法精度并不高。
　　 本文的主要内容是，基于文[9]中的多步差分法的思想，构造高精度的差分格式，并用于求解5阶和8阶的边值问题。
　　 第一章是序论部分，主要介绍差分法中所涉及的基本概念、定义等理论知识。
　　 第二章是本文的主要内容，给出了5阶和8阶微分方程具有最高截断误差阶的差分格式，包括5阶6点差分格式、5阶7点差分格式以及8阶9点差分格式.同时对各种不同的边值条件进行讨论，构造相应的差分格式，并给出了提高截断误差阶的讨论。
　　 第三章中给出具体数值算例，将第二章中得到的微分方程和边值条件的差分格式用于几个5阶和8阶算例.并将数值结果与一些文献中提出的其他方法做比较，都显示了较好的结果，表明了这种高精度多步差分格式的高效性。

目录

文摘

英文文摘

声明

1 序论

1.1 差分法的基本概念

1.2 线性多步法

1.2.1 线性多步法的一般公式

1.3 多步有限差分法

1.3.1 差分格式的构造

2 5阶和8阶的线性边值问题求解

2.1 5阶6点差分格式求解边值问题

2.1.1 6点差分格式

2.1.2 1阶导数的边值条件

2.1.3 2阶导数边值条件

2.2 5阶7点差分格式求解边值问题

2.2.1 7点差分格式

2.2.2 1阶导数的边值条件

2.2.3 2阶导数边值条件

2.3 9点差分格式求解8阶边值问题

2.3.1 1阶导数的边值条件

2.3.3 2阶导数边值条件

2.3.4 3阶导数边值条件

2.3.5 4阶导数边值条件

2.3.6 5阶导数边值条件

3 数值算例

3.1 数值算例

结论

参考文献

致谢