基于比例边界有限元法的分区非均匀地基边界刚度计算模型研究

摘要

无限地基边界刚度的计算一直是结构-地基相互作用领域的重要研究内容，大量研究表明，复杂无限地基对上部结构的影响不可忽略。比例边界有限元法是一种求解半无限地基边界刚度的有效方法，相比于有限元法，仅需离散求解域边界，大大降低计算量；相比于边界元法，其不需要基本解，大大降低了数学复杂性和不确定性。相似中心是该方法的一个重要几何特性，可用点、线等形式来定义，在求解地基刚度时，需要将整个地基看成是一个整体，但对于分区非均匀地基，如不同区域材料分界线不能汇交于一点的分块地基、弹性半空间上覆水平层状地基，各子区域相似中心的位置或类型不同，往往难以对整个地基建立一个统一的相似中心，只能采用改变不同区域材料分界线的几何位置或对部分地基施加人工边界条件来进行近似。本文针对这种地基形式，建立了分区非均匀地基边界刚度的SBFEM计算模型，并自行开发了静、动力刚度矩阵的计算程序，尝试求解分区非均匀地基的边界刚度问题，主要内容包括： 1.针对标准SBFEM求解分区非均匀地基时存在的问题，提出采用与结构-地基交界面相平行的分段直线、曲线作为相似中心，使得径向坐标轴与不同区域界面相重合，从而保证界面处的位移和应力满足连续性条件，能够合理地模拟分区地基的非均匀性。 2.基于几何比例边界变换，建立相似中心线、地基边界以及求解域内部任意点三者之间的比例坐标关系。 3.采用加权余量技术推导得到以位移和静、动力刚度矩阵表示的SBFEM控制方程。与常规比例边界有限元不同，控制方程中的系数矩阵不再是常数，而是径向坐标的函数，针对这一特点，采用Runge-Kutta算法进行数值求解获得地基边界静、动力刚度矩阵。 4.通过计算均质半无限地基的静、动力刚度矩阵和层状半无限地基的动力刚度矩阵，验证了本文算法的正确性和有效性。基于本文算法，求解了混凝土条带基础-分块非均匀地基相互作用体系的动力刚度矩阵，并分析了地基材料分区不均匀性的影响以及本文算法与标准SBFEM近似计算的差别。 数值算例表明：1)地基的分区不均匀性对各个方向的动力刚度均有较为显著的影响，而且不同的分区不均匀情况所对应的地基动力刚度存在明显的差别；2)本文算法结果与标准SBFEM的近似计算结果存在一定差别，且当地基不均匀性更显著、近似交界面与实际的材料分界面偏差更大或地基规模更大时，两者差别会更加显著，说明了本文算法对于求解分区非均匀地基边界刚度问题的必要性。

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摘 要

Abstract

1 绪论

1.1 研究背景与意义

1.2 结构-地基相互作用国内外研究概述

1.2.1 结构-地基相互作用问题的研究历程

1.2.2 土-结构动力分析的数值研究方法

1.2.3 数值方法小结

1.3 本文研究的主要内容

2.1 标准比例边界有限元法基本概念

2.2 标准比例边界有限元法基本方程推导

2.2.1 无限域弹性动力学问题的数学表达

2.2.2 传统几何比例边界变换

2.2.3 标准比例边界有限元位移方程

2.2.4 标准比例边界有限元刚度矩阵方程

2.3 本章小结

3.1 问题描述

3.2 相似中心的确定方法和求解域内任意点坐标、位移和应变表示方法

3.3 分区非均匀地基刚度矩阵方程的推导

3.3.1 分区非均匀地基的SBFEM位移方程的推导过程

3.3.2 分区非均匀地基的SBFEM刚度矩阵方程的推导过程

3.4 分区非均匀地基刚度矩阵方程的求解

3.4.1 分区非均匀地基边界动力刚度矩阵的求解方法

3.4.2 分区非均匀地基边界静力刚度矩阵的求解方法

3.5 程序实现流程

3.5.1 边界动力刚度阵的程序实现流程

3.5.2 边界静力刚度阵的程序实现流程

3.6 本章小结

4.1 算例验证

4.1.1 均质半无限地基边界静力刚度矩阵

4.1.2 均质半无限地基边界动力刚度矩阵

4.1.3 刚性条带基础放置于层状半无限地基表面

4.2 分区非均匀地基边界刚度计算实例分析

4.2.1 分区不均匀性的影响分析

4.2.2 标准SBFEM近似模拟结果和本文算法计算结果的比较分析

4.3 本章小结

5.1 结论

5.2 展望

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