非椭圆夹杂Eshelby问题的扩展研究——光滑夹杂的外场问题和多边形夹杂的多项式本征应变问题

摘要

Eshelby问题的研究历史已经超过半个世纪，建立在椭球夹杂Eshelby张量均匀性基础上的等效夹杂法已经成为复合材料细观力学的基石，由此发展出多种用于估计非均匀材料有效性质的方法，如自恰法、Mori-Tanaka方法、IDD法等。然而对于“均匀性仅限于椭球形状”的Eshelby猜想的证实或证伪一直悬而未决，直到2008年才有了彻底的证明。在对Eshelby猜想反复辨析的过程中，非椭球（圆）夹杂问题的研究吸引了众多研究者的兴趣。另一方面，真实的夹杂往往是非椭球（圆）的，这一物理背景也进一步推动了非椭球（圆）夹杂问题的研究。
　　三维非椭球夹杂问题的解析研究除了多面体外，由于三维形状几何表述的复杂性，鲜有涉及其他的形状；而对于二维问题，多边形夹杂和洛朗多项式型光滑曲线夹杂作为两类典型的非椭圆夹杂，相应的研究虽然都有工作开展，但仍存在一些问题没有解决，如洛朗多项式型光滑夹杂Eshelby张量场的内外完整性问题，考虑多项式本征应变时解析解的一般性问题等。
　　本论文从两个方面对非椭圆夹杂问题进行扩展研究，一是洛朗多项式型光滑夹杂的外场解问题，二是多边形夹杂的多项式本征应变问题，具体的工作和得到的结论如下：
　　（1）从 Eshelby张量的边界积分公式出发，发展了一种导出洛朗多项式型光滑夹杂外场解的通用方法，给出了任意旋轮线形和准平行四边形夹杂外场的显式解，通过数值计算并与椭圆等标准模型的对比研究，得到了夹杂形状对外场的影响范围。
　　（2）通过本征位移构造了本征应变的任意阶次多项式形式，基于各向同性材料的平面弹性复变函数方法将任意形状夹杂发生多项式本征应变时的弹性场问题转化为基本函数的边界积分问题。对于任意多边形夹杂，导出了基本函数所包含边界积分的显式结果，从而得到了弹性场的解析解。通过数值计算得到了三角形、正方形和多边形逼近的椭圆夹杂在均匀、线性和二次形式的本征应变作用下的应力场和位移场，分析了夹杂的几何形状和本征应变多项式次数对弹性场的影响。
　　（3）对于各向异性磁电弹材料的多项式本征应变问题，通过广义本征位移实现任意阶次多项式广义本征应变的构造，基于广义的Stroh理论将扰动物理场的求解问题归结为两组基本函数的边界积分问题。对于任意多边形夹杂，导出了基本函数所包含边界积分的显式结果，从而得到了扰动物理场的解析解。通过数值计算证实了“Eshelby多项式守恒定理”对于各向异性磁电弹材料椭圆夹杂的适用性，分析了多边形顶点处的场量集中和奇性特征，并利用基本函数的解析公式进行了阐释。

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第1章 绪论

1.1 Eshelby问题概述

1.2国内外研究现状

1.3本文研究的目的和意义

1.4本文的主要内容

第2章 洛朗多项式型光滑夹杂的外弹性场

2.1 Eshelby张量场的边界积分表示

2.2洛朗多项式型光滑夹杂的外场解

2.3显式的结果与算例

2.4本章小结

第3章 多边形夹杂的多项式本征应变问题：各向同性材料

3.1平面弹性问题的复变函数表示理论

3.2多项式本征应变问题的一般解

3.3多边形夹杂的显式解

3.4数值结果与讨论

3.5本章小结

第4章 多边形夹杂的多项式本征应变问题：各向异性磁电弹材料

4.1预备知识

4.2多项式本征应变问题的一般解

4.3与格林函数解之间的关系

4.4任意多边形夹杂的显式解

4.5算例与讨论

4.6本章小结

第5章 结论与展望

致谢

参考文献

附录A

攻读学位期间的研究成果