L-矩阵的预条件迭代法的收敛性分析

摘要

L-矩阵是实际背景很广的一类矩阵，众所周知，数学、物理、流体力学和经济学中的许多问题最终都归结为求解一个或一些大型稀疏矩阵的线性代数方程组。因此，研究大型稀疏线性方程组的解法成了人们所关注的焦点。由于迭代法能够充分利用矩阵的稀疏性，从而节省存储单元，因而它是解大型稀疏线性代数方程组的比较实用的方法之一。而判断迭代方法好坏的标准通常是它的收敛性和收敛速度，因此我们应找到一种收敛性好且收敛速度快的迭代法，这样才有实际的价值。为了更好地解线性方程组，引进非奇异的预条件子，通过预条件子的作用加快迭代的收敛速度。 本文在文献[1]-[3]的基础上，给出了两种特殊情形的预条件子，并且在假设系数矩阵为不可约的L-矩阵时，通过谱半径的比较，得到了预条件方法与经典迭代法之间的比较定理，那么这些结论对一般情形的预条件子是否也有效呢？文中对一般情形也进行了讨论，同样得到了预条件方法与经典迭代法之间的比较定理，并且证明了预条件方法的优越性，从而推广和改进了原来已有的结论。 第一部分，引言。我们给出了经典SOR迭代法和Gauss-Seidel迭代法的迭代矩阵以及预条件迭代法产生的背景，引进了预条件子P，并且给出了预条件迭代法的迭代矩阵。 第二部分，预备知识。这一部分主要是给出了本文中所涉及到的一些基本符号、定义和引理。 第三部分是已有的相关结论。这一部分主要是介绍前人在预条件方法上所作的一些工作，包括如何选取预条件矩阵以及相关的比较定理。 第四部分，比较定理。在假设系数矩阵A为不可约L-矩阵的前提下，针对不同的预条件子讨论了预条件迭代法与经典迭代法的收敛速度快慢问题，并且对一般情形的预条件子也进行了讨论，得到了预条件迭代法的收敛速度要快于经典迭代法的收敛速度。 第五部分，数值例子。用数值例子验证第四部分中所得的重要结论。 第六部分是小结与前景展望。对文章的主要思想、方法和得到的主要结论做一总结，然后对预条件迭代法的前景做了展望。

目录

文摘

英文文摘

声明

1引言

2预备知识

3已有的相关结论

4本文的主要结果

4.1特殊情形的预条件子P1=I+S1

4.2特殊情形的预条件子P2=I+S2

4.3一般情形的预条件子P=1+S

5数值例子

6小结与前景展望

参考文献

致 谢

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