环F+uF+uF上的线性码

摘要

近年来，人们对有限环上码的研究产生了极大的兴趣，特别是对四元环Z4和F2+uF2上的码。四元环Z4和+F2+uF2上的码通过Gray映射和二元码建立了联系。人们通过定义类似的Gray映射，将其他一些有限链环上的码和有限域上的码建立了联系。众所周知，非线性二元码Kerdock码就是Z4上扩展的线性循环码的Gray像。
　　 本文主要研究了环R=F2+uF2+u2F2上线性码的一些性质和结构特征，包括以下几个方面：
　　 1、记环R1=F2+uF2，构造了从Rn到F23n的Gray映射φ以及从R1n到Rn的映射f。通过对环R上线性码C的生成矩阵的研究，给出了线性码C的对偶码C⊥和Gray像φ(C)的生成矩阵，并且φ(C)与φ(C⊥)是域F2上的对偶码。证明了C1为R1上线性码的充分必要条件是f(C1)为R上的线性码，得到了线性码C1和f(C1)的生成矩阵之间的对应关系。
　　 2、定义了环R上线性码的李重量分布的概念。利用域F2上线性码和对偶码的重量分布关系，得到了环R上线性码及其对偶码关于李重量分布的MacWilliams恒等式。
　　 3、定义了环R上码字的深度以及线性码的深度分布。研究了环R上码字深度的性质，给出了计算环R上码字深度的递归算法。利用域F2上线性码深度分布的性质，讨论了环R上的线性码的深度谱和深度分布，得到了R上一类线性码的深度分布。
　　 4、通过定义新的Gray映射φ，研究了环R上的循环码和(1+u2)-常循环码。证明了环R上长为n的码C是(1+u2)-常循环码当且仅当φ(C)是域F2上指标为2长为4n的准循环码。当n是奇数时，环R上长为n的线性循环码的Gray像，置换等价于F2上长为4n的线性循环码。

目录

文摘

英文文摘

声明

第1章绪论

1.1数字通信系统简介

1.2编码理论的提出、发展和现状

1.3本文内容安排

第2章域上线性码的基础知识

2.1分组码

2.2线性分组码

2.3线性码的生成矩阵

2.4线性码的对偶码与校验矩阵

2.5线性码的重量分布

2.6循环码

第3章环(F)2+u(F)2+u2(F)2上的线性码

3.1环(F)2+u(F)2+u2(F)2上的线性码及其Gray像

3.1.1基本概念

3.1.2环R上线性码及Gray像

3.1.3环R和R1上线性码之间的关系

3.2环(F)2+u(F)2+u2(F)2上线性码及其对偶码的MacWlliimas恒等式

3.2.1李重量分布以及重量计数公式

3.2.2环R上线性码关于各重量计数公式的恒等式

3.3环(F)2+u(F)2+u2(F)2上线性码的深度分布

3.3.1环R上线性码的深度分布及深度谱的概念

3.3.2环R上码字深度的性质及其递归算法

3.3.3环R上线性码的深度分布与深度谱

3.4环(F)2+u(F)2+u2(F)2上的循环码与(1+u2)－循环码

3.4.1预备知识

3.4.2 Gray映射(φ)的定义及其性质

3.4.3环R上(1+u2)－循环码和循环码的二元像

第4章结束语

4.1论文的主要工作

4.2研究展望

参考文献

致谢