有限域上p元序列的相关分布及一些循环码的重量分布

摘要

有限域上的指数和不仅是数论中一个基本而重要的研究对象，而且在通信领域中也有着广泛的应用.多年来，利用数论和算术几何中的方法，人们对指数和的上下界的估计已得到一些深刻的结果.在通信领域中，有限域上的指数和在编码和密码学等领域中都有着重要的应用.例如，在编码理论中，我们可以利用指数和来估计线性码的最小距离;在CDMA和OFDM通信系统中需要自相关和互相关性能较优的周期序列，这相当于构造一系列绝对值较小的指数和.
　　本文主要利用有限域上的二次型理论，研究了几类指数和并给出了它们的值分布.然后利用指数和的值分布决定了几类循环码的重量分布和一些序列的互相关分布.本文的结构安排如下:
　　首先，我们简单介绍了与本文所研究的问题相关的背景知识及国内外研究现状.
　　其次，我们将指数和转化为两个二次型的一半来研究了一类指数和.结合前人计算的指数和的结果，再应用特征为p的有限域上的二次型理论和线性化多项式理论，我们研究了第一类指数和∑x∈FqζTrn1(ax(pm+1)2/2(pk+1)+bx)p（其中m/k是奇数），并给出了它们的值分布.作为应用，我们利用序列与其采样序列构造了一类具有低相关的大集合的p元序列集，它的互相关值的绝对值的上界是p+1/2pm+1（当k=1时）.另一方面我们还利用此类指数和的分布给出了几类循环码的重量分布，其中部分循环码的对偶码的极小距离是4，这在汉明界的意义下是最优的.
　　然后，2011年Luo Jinquan等人选取采样因子d=(pm+1)2/2(pk+1)（其中m是奇数，k|m），考虑了当p≡3mod4时周期为pn-1的p元m序列{st}和其采样序列{sdt}之间的互相关的分布.我们将其采样因子及素数p推广到一般情形.令采样因子d是满足d(pk+1)≡pm+1 mod p2m-1的正整数，其中2m/ gcd(2m，k)是奇数，p为奇素数.通过研究第二类指数和∑x∈FqζTrn1(-xd+bx)p（其中d满足d(pk+1)≡pm+1 mod p2m-1，2m/gcd(2m，k)是奇数）的分布，我们考虑了周期为pn-1的p-元m-序列{st}和其采样序列{sdt}之间的互相关性.研究表明，互相关函数有六个可能取值，而且我们确定了互相关的值分布，从而确定了互相关的绝对值的上界.
　　最后，我们研究了第三类指数和∑x∈FqζTrn1(axd+bx)p(其中d满足d(pk+1)≡pm+1 mod q-1，2m/ gcd(2m，k)是奇数），并给出其分布.作为指数和的应用我们研究了一些循环码的重量分布，其中一些循环码的对偶码具有较好的参数.另外，我们还给出了周期为pn-1的p-元m-序列{st}和其采样序列{sdt+l}（0≤l＜pm+1/2）之间的互相关的值分布.

目录

摘要

第一章 绪论

1．1 选题背景及意义

1．2 国内外研究现状

1．2．1 循环码重量分布研究现状

1．2．2 p-元序列相关性的研究现状

1．3 本文的主要工作

第二章 基本概念和准备知识

2．1 线性码，循环码和序列

2．1．1 线性码和循环码

2．1．2 序列

2．2 指数和的已知结果

2．3 二次型的基本知识

第三章 指数和Σx∈Fq ζTrn1(ax(pm+1)2/2(pk+1)+bx)p品的计算及应用

3．1 引理和预备知识

3．1．1 指数和S1(a，b)的分布

3．2 一类序列集的互相关值的分布

3．3 循环码的重量分布

第四章 指数和Σx∈Fq ζTrn1(-xd+bx)p(d(pk+1)≡pm+1(mod q-1))的计算及应用

4．1 引理和预备知识

4．2 指数和S(-1，b)的计算

4．2．1 S(-1，b)的可能取值

4．2．2 T(-1，b)的分布

4．2．3 S(-1，b)的分布

4．3 一类序列的互相关的分布

第五章 指数和Σx∈Fq ζTrn1(axd+bx)p(d(pk+1)≡pm+1(mod q-1))的计算及应用

5．1 引理和预备知识

5．2 指数和S(a，b)的分布

5．3 一类序列集的互相关的分布

5．4 循环码的重量分布

第六章 总结和展望

6．1 总结

6．2 展望

参考文献

读博期间发表文章目录

致谢

声明