一类指数度量的若干几何性质

摘要

芬斯勒几何包括其重要特例黎曼几何是现代数学中的重要前沿学科，由Finsler几何发展起来的几何方法对于探究理论物理，生物数学和信息几何等都是相当有用的.本文主要研究了光滑流形M上的一类特殊的(α，β)-度量，即F=α(e1+β/α+1)（其中α（x，y）=√(a)ij(x)yiyj是M上的黎曼度量，β(x，y)=bi(x)yi是M上的1-形式）的一些几何性质，并重点探讨了F=α（e1+β/α+1）是局部射影平坦，对偶平坦的充要条件和具有迷向S-曲率的充要条件.主要得到了以下一些结论:
　　定理3.2设（M，α）是n维黎曼流形，β是M上的一个1-形式，F=α（e1+β/α+1）是M上的Finsler度量.那么F为局部射影平坦的当且仅当:
　　(1)α局部射影平坦的，即α有常截面曲率.
　　(2)β关于α是平行的，即bi|j=0.
　　定理3.3设(M，α)是n维黎曼流形，β是M上的一个1-形式，F=α（e1+β/α+1）是M上的Finsler度量.那么F为局部射影平坦的，当且仅当:
　　(1)α是欧氏度量.
　　(2)β是常向量.
　　定理3.4设(M，α)是n维黎曼流形，β是M上的一个1-形式，F=α（e1+β/α+1）是M上的Finsler度量.假若F是局部射影平坦的，那么它的旗曲率为零.
　　定理4.1设(M，α)是n维黎曼流形，β是M上的一个1-形式，F=α（e1+β/α+1）是M上的Finsler度量.那么F是局部对偶平坦的当且仅当:
　　(1)Gmα=1/3θmα2+2/3θym.
　　(2)r00=2/3θβ-2/3blθlα2.
　　(3)sl0=4(βθl-θbl)/(9).
　　这里θ=θkyk是M上1-形式，θm=(a)imθi.
　　定理5.1设(M，α)是n维（n≥3）黎曼流形，β是M上的一个1-形式，F=α(e1+β/α+1)是M上的Finsler度量.那么对于M上的指数度量F=α（e1+β/α+1），则以下条件等价:
　　(1)F是具有迷向S-曲率的.
　　(2)β是关于α长度恒定的killing1-形式.
　　(3)S=0.
　　(4)F是Berwald度量.
　　(5)β关于α是平行的.
　　(6)F与α是有相同的测地系数的.即Gi=Giα.
　　(7)F与α是射影相关的.

目录

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摘要

第1章 前言

第2章 基础知识

§2．1 闵可夫斯基空间

§2．2 芬斯勒流形

§2．3 旗曲率

§2．4 局部射影平坦与局部对偶平坦的芬斯勒度量

§2．5 S-曲率

§2．6 (α，β)-度量

第3章 射影平坦的指数度量

第4章 对偶平坦的指数度量

第5章 具有迷向S曲率的指数度量

参考文献

致谢