关于加法表示函数和连续过剩数

摘要

设A为正整数集的一个无限子集.对于任意的正整数n，用r(A，n)表示方程n=a+b，a，b∈A，a≤b的解数.用|A(x）|表示集合A中不超过正实数x的整数的个数.1998年，Nicolas，Ruzsa和Sárk(o)zy证明了:存在正整数集的无限子集A，使得对所有充分大的整数n都有r(A，n)≠1，并且limsup|A(x)|(logx)-2≤(log2)-2.他们还证明了:如果A为正整数集的无限子集，且对所有充分大的整数n都有r(A，n)≠1，那么limsup|A(x)|(loglogx/logx)3/2≥1/20.2004年，Balasubramanian和Prakash证明了:存在一个绝对常数c＞0满足下述性质:若A为正整数集的无限子集，且对所有充分大的正整数n都有r(A，n)≠1，则对所有充分大的x都有|A(x）|≥c(logx/loglogx)2.本文主要证明了:若A为正整数集的无限子集且对所有充分大的整数n都有r(A，n)≠1，则对所有充分大的x都有|A(x)|＞1(logx/loglogx)2.
　　用σ（n）表示正整数n的所有正约数的和，E(x)表示不超过x的满足σ(n)≥2n的连续正整数n的最多个数.1935年，P.Erd(o)s证明了:存在两个正常数c1和c2，使得c1logloglogx≤E(x)≤c2logloglogx.2011年，Pollack借助实变函数的知识证明了当x→+∞时，E(x)/logloglogx趋于一个极限.本文仅用数论知识给出这个结论的另外一种证明.

目录

声明

摘要

第一章 引言

§1．2 定义

§1．3 研究背景和进展

§1．4 主要结论

第二章 关于加法表示函数

§2．1 主要结果

§2．2 引理

§2．3 定理2．1．1 的证明

第三章 关于连续过剩数

§3．1 主要结果

§3．2 引理

§3．3 定理3．1．1 的证明

参考文献

致谢