一类特殊分形函数的构造

摘要

分形在短短几十年里理论发展越来越深远化，应用领域也越来越多元化。分形学的独特魅力吸引了越来越多学者的关注，这让分形集合和分形函数的分析研究有了更多活力。在分形理论研究过程中，分形函数的构造有着举足轻重的地位。特殊分形函数的构造对于分形函数的结构特征研究以及分形函数的分形维数研究等方面都有着极其深远的意义。本文主要对特殊分形函数构造及其相关性质展开讨论，利用分数阶微积分工具来研究函数分数阶微积分的分形维数与其自身分形维数的关系。本文先构造了一个一维连续的分形函数，讨论了其无界变差点的个数，并且给出了其Riemann-Liouville分数阶积分的分形维数等于1的证明。接着在Von Koch曲线的基础上构造出了具有不可数个无界变差点的分形函数，计算出其函数图像的长度为4n/3n，进一步证明了其分形维数为log34。最后本文研究了一类不具有表达式的分形函数，证明了当0＜v＜1时，任意连续函数在其闭区间上的任意v阶Riemann-Liouville分数阶积分的上Box维数的上界估计不会超过2-v，同时也证明了在闭区间上满足α-H(o)lder条件的连续函数，它的任意阶Riemann-Liouville分数阶积分的上Box维数的上界估计不超过2-α，其中0＜α＜1。

目录

声明

摘要

1 引言

1．1 研究意义

1．2 国内外研究现状

1．2．1 分形函数的构造

1．2．2 分形函数的分形维数及其分数阶微积分

1．2．3分形函数的数值模拟

1．3论文主要内容和符号标记

2 预备知识

2．1分形维数

2．1．1 Hausdorff维数

2．1．2 Box维效

2．2 分数阶微积分的概念

2．2．1 Riemann-Liouville分数阶微积分

2．3 无界变差

3无界变差连续函数的Riemann-Liouville分数阶积分的分形维数

3．1 具有一个无界变差点函数的构造

3．2 M(x)的Riemann-Liouville分数阶积分的分形维数

3．3 M(x)的Riemann-Liouville分数阶微积分图像

4拟Von Koch曲线函数

4．1 Von Koch曲线

4．2具有无数个无界变差点的连续函数

4．2．1 连续函数Q(x)的构造

4．3 Q(x)的性质

5连续函数的分数阶微积分的分形维数的上界估计

5．1 f(x)∈C[0，1]的Riemann-Liouville分数阶积分的上Box维数的上界

5．2 f(x)∈Cα[0，1]的Riemann-Liouville分数阶积分的上Box维数的上界

总结

致谢

参考文献

在学期间完成的论文