受迫摆系统混沌运动的分析与控制研究

摘要

随着系统与控制理论的发展，混沌和非线性动力学逐渐成为当今学术界研究热门课题之一。它揭示了自然界及人类社会中普遍存在的复杂性，反映了确定性与随机性之间的辨正统一关系。混沌已经与相对论、量子力学并称为20世纪物理学的三次重大革命，“相对论消除了关于绝对空间与时间的幻想，量子力学则消除了关于可控测量过程的牛顿式的梦想，而混沌则消除了拉普拉斯关于决定论式可预测的幻想”。近半个世纪以来，人们对混沌现象的自然规律及其在自然科学和社会科学中的表现有了广泛而深刻的认识，并将其广泛的应用到了信息科学、医学、生物、工程等相关领域。可以说，在可以预见的将来还不会有哪个学科会象混沌那样广泛的深入到如此众多的学科，并产生如此重要的影响。近半个世纪以来，人们对混沌现象的自然规律及其在自然科学和社会科学中的表现有了广泛而深刻的认识，并广泛地将其应用到了很多相关领域。混沌理论以及混沌控制的研究具有重要的理论意义和应用价值。 本文以受迫摆为模型，对其混沌运动进行了分析和控制研究。文中首先，在第一章中引入性地介绍了混沌和非线性动力学的一些基本概念，包括动力系统，非游荡集、周期运动、拟周期运动、混沌以及不变集等。在第一章中，还从分析，控制和应用三方面，概括性地阐述了相关受迫摆模型的研究进展。 随后，在第二章中对常用的混沌行为的分析和控制手段进行了介绍。首先介绍的是相图分析、Poincare映射与Poincare截面、分岔图、Lyapunov指数等常见的混沌运动刻画手段。然后，介绍了传统延迟反馈混沌控制算法和参数微扰混沌控制算法。由于确定连续系统的周期轨在混沌动力系统的分析和控制中具有很重要的地位，而连续动力系统的周期轨可以通过某种方式转换为离散动力系统的不动点，因此，在本章的最后介绍了Newton-Raphson算法和Schmelcher-Dialonos算法两种对系统的不动点进行定位的算法。 本文第三章从单摆这一简单而传统的物理学模型出发，通过对其施加各种不同的驱动方式，得到了一系列不同的受迫摆动力学模型。后文从中选取了GH受迫摆模型，进行具体的混沌行为分析和混沌控制研究。而实际上，其他几个受迫摆模型很可能也有与GH受迫摆模型相类似的动力学特征——都具有混沌行为和常规行为在其状态空间内并存的特点。在第三章的末尾，给出了关于这种猜想的一些证据，然而，由于时间、精力等各方面所限，本文没能对其他几个受迫摆模型进行更为细致的动力学分析。 本文第四章对GH受迫摆模型进行了初步的动力学分析，分析的内容主要集中在对GH受迫摆模型从常规行为向混沌行为的过渡过程分析，以及混沌行为和常规行为在其状态空间并存的讨论。本章中首先说明了混沌行为和常规行为的确是在系统的状态空间并存的，并使用分岔图、Lyapunov指数谱等手段对这一结论进行了可靠的验证。随后，文中对GH受迫摆系统从常规行为向混沌行为的过渡过程进行了讨论。本章的最后对GH受迫摆系统的常规行为区和混沌行为区进行了划分、确定。 第五章中，主要使用状态反馈的方法，对GH受迫摆系统进行了混沌控制研究。这里，首先使用了传统的状态反馈方法成功的对GH受迫摆系统进行了混沌控制，然后针对该受迫摆系统的动力学特点，对传统的状态反馈方法进行了一定的修改。而后，使用修改后得到的冲击延迟反馈控制方法，成功的对GH受迫摆系统进行了混沌控制。修改后的冲击延迟反馈控制方法突出的优点是，它实现控制所需要的控制量非常小。另外，由于采用冲击延迟反馈控制方法时，需要事先确定一个控制窗口，文中对该窗口的选择也进行了一些讨论。本章中还估计了受迫摆系统简化模型的控制窗口，并使用冲击延迟反馈控制方法成功的对受迫摆系统简化模型进行了混沌控制。 最后，在第六章中对本文所做的工作进行了总结，并对下一步的研究进行了展望。