一类新型浅水波方程的散射问题和适定性理论

摘要

本文主要研究了一类新型非线性浅水波方程(Dullin-Gottwald-Holm方程，简称为DGH方程)的散射理论和Cauchy问题的适定性理论。DGH方程是Dullin，Gottwald，Holm从Euler方程出发，利用渐近扩张思想研究无旋不可压缩无粘浅层受地球重力和流体自身表面张力影响的运动规律，得到的一类1+1维新型单向浅水波方程。 通过揭示DGH方程的双哈密顿结构和Lax对形式，研究了相应的Schrodinger算子的谱图理论，获得散射数据，解决了正散射和反散射问题。　　主要研究DGH方程初值问题的局部适定性、整体适定性、blow-up问题；将DGH方程化为非局部形式，运用Kato定理，得到了初值问题解局部适定性理论；利用谱图理论，获得了一致先验估计，并由此证明了：当初始位势满足一定的正定性条件时，相应的解具有整体适定性；在对初值问题解的奇异性的讨论中获得了breakingwave存在的一个充分性条件。 研究了DGH方程的孤立波解的轨道稳定性理论，通过对线性化Hamiltonian算子进行谱分析，将孤立波的轨道稳定性问题转化为判定修正的能量函数是否是波速的凸函数，从而得到了结论：DGH方程的所有的孤立波是轨道稳定的。 研究了DGH方程的初值问题的解与相应的Camassa-Holm方程的解之间的关系；通过对线性化DGH方程的基本解的讨论，证明了当色散系数趋于零时，DGH方程的解趋近于Camassa-Holm方程的解。 研究了DGH方程的初值问题的解与相应的Korteweg-deVries方程的解之间的关系；通过建立一些必要的一致先验估计，得到了：当α→0时，DGH方程的初值问题的解收敛到相应的Korteweg-deVries方程的解。注意到当ω=0时Camassa-Holm方程存在尖峰孤立波解；当ω≠0时，这类型的解不存在，而此时DGH方程的尖峰孤立波解却存在； 给出了DGH方程的这类新型尖峰孤立波解存在的条件。

目录

文摘

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第一章引言

第二章DGH方程的谱理论和散射理论

第三章DGH方程Cauchy问题的适定性

第四章DGH方程孤立波的稳定性

第五章γ→0时DGH方程解的极限行为

第六章α→0时DGH方程解的极限行为

第七章DGH方程的新型尖峰孤立波解

参考文献

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