时间尺度上约束力学系统的积分因子与守恒量研究

摘要

守恒量在数学、力学和物理学中具有重要的位置，近年来，寻找力学系统的守恒量一直是分析力学的重要方面。时间尺度是实数集上任意非空闭子集，这一理论很好地将连续动力学与离散动力学系统统一起来，为学者提供了有效的数学工具。相对于整数阶模型来说，用分数阶模型是能够更加准确的来刻画自然界中复杂的动力学行为。为了进一步寻找力学系统的守恒量，本文将用积分因子法来研究时间尺度理论上力学系统与分数阶力学系统的守恒量。具体内容如下: 1.研究了时间尺度上Lagrange系统、Hamilton系统和Birkhoff系统的积分因子与守恒量，建立了该系统的积分因子定义与能量方程，构建了用积分因子法求解该系统守恒量的守恒定理。 2.研究了时间尺度上非完整系统的积分因子与守恒量，建立了时间尺度上非完整系统的积分因子定义与能量方程，构建了用积分因子法求解时间尺度上非完整系统守恒量的守恒定理，并退化到一般情形。 3.研究了分数阶Birkhoff系统的积分因子与守恒定理。在Riemann-Liouville导数的定义下，由分数阶Birkhoff系统运动微分方程的表达式，给出了分数阶Birkhoff系统运动微分方程的积分因子定义，从而构造了分数阶Birkhoff系统的守恒定理，并建立了该系统的广义Killing方程。 4.研究了一类非完整系统的积分因子与守恒定理。基于按周期律拓展的分数阶积分的El-Nabulsi模型，给出该非完整系统运动微分方程的积分因子定义，建立该非完整系统的守恒定理和逆定理，并提出该非完整系统的广义Killing方程。

目录

声明

第一章 绪 论

1.1 问题的提出及研究意义

1.2 国内外研究现状

1.3 本文主要研究内容及安排

第二章 预备知识

2.1 时间尺度微积分基本性质

2.2 分数阶微积分基本性质

第三章 时间尺度上Lagrange系统的积分因子和守恒量

3.1 时间尺度上Lagrange系统的积分因子

3.2. 时间尺度上Lagrange系统的能量方程与守恒定理

3.3 算 例

3.4 小 结

第四章 时间尺度上Hamilton系统的积分因子和守恒量

4.1 时间尺度上Hamilton系统的积分因子

4.2 时间尺度上Hamilton系统的能量方程与守恒定理

4.3 算 例

4.4 小 结

第五章 时间尺度上非完整系统的积分因子和守恒量

5.1 时间尺度上非完整系统的运动微分方程

5.2 时间尺度上非完整系统的积分因子

5.3 时间尺度上非完整系统的守恒定理

5.4 算 例

5.5 小 结

第六章 时间尺度上Birkhoff系统的积分因子和守恒量

6.1 时间尺度上Birkhoff方程

6.2 时间尺度上Birkhoff方程的积分因子

6.3 时间尺度上Birkhoff系统的能量方程

6.4 守恒定理

6.5 算 例

6.6 结 论

第七章 一类非完整系统的积分因子和守恒量

7.1 系统的运动微分方程

7.2 系统运动微分方程的积分因子与守恒定理

7.3 广义Killing方程

7.4 守恒定理的逆定理

7.5 算 例

7.6 小 结

第八章 分数阶Birkhoff系统的积分因子和守恒量

8.1 分数阶Birkhoff系统及其积分因子

8.2 分数阶Birkhoff系统的守恒定理

8.3 广义Killing方程

8.4 特例：分数阶Hamilton系统的积分因子与守恒定理

8.5 算 例

8.6 小 结

第九章 结论与展望

9.1 总 结

9.2 展 望

参考文献

致谢

作 者 简 历