几类非线性偏微分方程的行波解分类

摘要

非线性偏微分方程是现代数学的一个重要分支，无论在理论中还是在实际应用中，非线性偏微分方程可被用来描述力学、控制过程、光纤通信等领域的非线性问题。偏微分方程行波解的研究已成为国内外研究的重要课题之一，行波解在揭示波的产生条件、解释奇特的自然现象等方面有着极大的科研价值和应用价值。
　　本学位论文对几个非线性偏微分方程的行波解进行了研究，改进了一种定性分析方法，在方程的不同参数区间得到了这几个方程可能存在的所有孤立波。根据行波解存在的条件，考虑方程中各个参数对方程解形成的影响以及解之间的极限行为。分类结果显示所研究的系统中不仅具有周期解、衰减的光滑解、cuspon解和peakon解等，而且还具有一些特殊形式的解，如双扭基解、蝴蝶波解和双孤子解。
　　第一章介绍了孤立子理论的研究背景，研究方法和研究现状。
　　第二章利用改进的定性分析方法研究了带有组合色散项的薛定谔方程的行波解。分析了方程中线性色散项和非线性色散项对方称程行波解的影响，通过研究发现该方程中两类新型行波解即双扭基解和蝴蝶波解。
　　第三章利用改进的定性分析方法研究了一类特殊薛定谔方程的行波解问题，发现该方程具有丰富的双孤子解，特别是得到了一类亮孤子和暗孤子同时出现的奇特行波解。
　　第四章研究了带有非线性色散项的mkdv方程的Painlevé性质，利用改进的定性分析方法研究了该方程的行波解及其极限行为。在该方程中存在丰富的奇异孤立波解，如peakon，compacton，loopon和cuspon。
　　第五章研究了修正的Degasperis-Procesi(mDP)方程的Painlevé性质，利用改进的定性分析方法研究了该方程的行波解及解的极限行为。研究发现方程中除了具有peakon，loopon， cuspon等奇异解，方程中还具有一些特殊的解，如fractal-like，stumpons，双扭基解和蝴蝶波。

目录

声明

摘要

1 绪论

1．1 研究背景

1．2 研究现状

1．3 研究方法

2 带有组合色散项薛定谔方程的行波解

2．1 基本定义和引理

2．2 方程行波解的分类

3 一类薛定谔方程的双孤子解

3．1 不同参数下，方程的零点与奇点的分布

3．2 方程中的双孤子解

4 带有非线性色散项的mKdV方程的行波解及其极限行为

4．1 方程的Painlevé性质

4．2 方程行波解的分类

4．3 定理4．2．1的证明

5 修正的Degasperis-Procesi方程的行波解及其解的极限行为

5．1 方程的Painlevé性质

5．2 行波的分类

5．3 定理5．2．1的证明

6 总结与展望

参考文献

致谢

硕士期间的工作