Tricomi方程极点在椭圆区域的基本解

摘要

关于自变量x,y的二阶微分方程
　　Tu=yuxx+uw=0
　　称为Tricomi方程,它是混合型偏微分方程的经典例子,称T为Tricomi算子.这个方程在上半平面y>0上是椭圆型的；在x轴y=0上是抛物型的；在下半平面y<0上是双曲型的.
　　混合型方程是重要的偏微分方程，它在数学、物理和气体动力学等方面有广泛的应用[1-50].例如光滑定常跨音速气流满足一混合型方程.但对于一致椭圆方程和一致双曲方程,混合型方程有待更进一步的研究.
　　Tricomi算子在(3,2)-尺度变换下不变.按照物理学家们的通常做法,Tricomi算子有对应于此尺度变换齐次的解.Barros-Neto和Gelfand[6]利用特征方法和Tricomi算子的齐次性得到Tricomi算子极点在退化线上的基本解F+和F-.本文第一章介绍其证明的背景知识和主要思路.Barros-Neto和Gelfand[7]还利用特征方法得到 Tricomi算子极点在椭圆区域的基本解.本文第二章介绍其证明的主要方法.特别地,当极点趋于退化线时,基本解的极限是F+和F-的线性组合.实部系数的和为1,虚部系数的和相抵消,故极限仍是Tricomi算子T的基本解.本文第三章我们利用Barros-Neto和Cardoso[3]的级数展开方法得到Tricomi算子极点在椭圆区域新形式的基本解,当极点趋于退化线时,我们得到的基本解的极限行为与Barros-Neto和Gelfand[7]得到的基本解的极限行为不同:基本解的极限也是F+和F-的线性组合,但实部系数的和不为1,虚部系数的和不相抵消,故极限不再是Tricomi算子T的基本解.
　　本文所做的工作为今后进一步研究混合型方程的边值问题和Cauchy问题等提供了帮助.