波动方程的高阶差分格式及其外推算法

摘要

波动方程在自然科学领域有着广泛的应用背景．有限差分方法是求解波动方程常用的一种数值解法．本文主要考虑一维和二维波动方程的数值求解．
　　 文章分为三部分．第一部分考虑一维波动方程的混合初边值问题的数值求解．此部分详细地给出一维波动方程的一个高精度紧差分格式的截断误差，推导出差分解的渐进展开式，建立了Richardson外推算法，使其精度达到六阶．
　　 第二部分考虑二维波动方程的Dirichlet边值问题的数值求解．首先，基于二维波动方程的关于时间和空间方向上的紧差分格式，加上一个小量项建立紧交替方向差分格式．利用能量分析方法证明了此差分格式的收敛性和稳定性，收敛阶在无穷模下关于时间步长和空间步长都是四阶的．其次，给出了此差分格式解的渐进展开式，建立了Richardson外推算法，使其精度在无穷模下达到六阶精度．
　　 第三部分给出了两个数值算例．数值算例1验证了一维波动方程紧差分格式的外推算法的精度，数值算例2验证了二维波动方程紧交替方向差分格式在无穷模下的收敛阶以及外推之后所达到的精度．