一类线性双曲型方程Neumann边值问题的高阶差分格式

摘要

本文主要用有限差分法求解一类带有Neumann边值条件的线性双曲型方程，文章共分为三部分.
　　第一部分是绪论，主要介绍问题的实际意义、研究现状以及本文所要研究的内容和结果.
　　第二部分包括第二章和第三章.第二章对一维Neumann边值条件的线性双曲型方程建立了高阶差分格式.首先，利用边界点的值与微分方程，可以得到ux(3）和ux(5)在边界点的值，然后利用有限差分法，在内部节点和边界点处分别建立三点和两点紧差分格式.之后用能量估计法，并运用Gronwall不等式及Schwarz不等式，给出了差分格式的先验估计式.最后，证明了差分格式的收敛性和稳定性，差分格式在无穷范数下的收敛阶为O（(τ)2+h4）.第三章，利用同样的离散方法，对二维情况下的Neumann边值条件的线性双曲型方程建立了高阶差分格式.为了得到数值解在最大模下的收敛性和稳定性，首先引入一个新的范数，然后用这个新范数和L2范数共同限制无穷范数的范围，之后给出了两个先验估计式.在证明差分格式的收敛性时，用微分中值定理对右端项进行处理，得到其H1半范数和L2范数的收敛阶是相同的，进而得出差分格式在无穷范数下的收敛阶为O((τ)2+h4）.
　　第三部分给出了四个数值算例.算例1与算例2验证了一维情况下，所建立的高阶差分格式是收敛的，收敛阶为O（(τ)2+h4）;算例3与算例4验证了在二维情况下，所建立的高阶差分格式是收敛的，全局收敛阶为O((τ)2+h4）.

目录

声明

摘要

第一章 绪论

§1．1 问题及研究现状

§1．2 本文的研究内容和结果

第二章 一维线性双曲型方程Neumann边值问题的高阶差分格式

§2．1 问题、记号发引理

§2．2 差分格式的建立

§2．3 差分格式的求解

§2．4 差分格式解的先验估计式

§2．5 差分格式解的收敛性和稳定性

§2．5．1 收敛性

§2．5．2 稳定性

第三章 二维线性双曲型方程Neumann边值问题的高阶差分格式

§3．1 问题、记号及引理

§3．2 差分格式的建立

§3．3 差分格式解的存在性

§3．4 差分格式的求解

§3．5 差分格式解的先验估计

§3．6．1 收敛性

§3．6．2 稳定性

第四章 数值算例

第五章 结论与展望

致谢

参考文献