求解矩阵特征值问题的一种新算法——非线性算法

摘要

特征值问题的提出，看似一个简单的问题，其实不然。尽管其基本理论多年来已成为人们所熟知，然而欲快速有效地求其解，就会遇到各种挑战性问题。本文在前人的基础上，提出了一种新的特征值问题的算法，为了叙述方便，不妨称之为非线性算法。这种方法是把特征值问题转化为非线性方程组进行求解。先用牛顿迭代法求得特征向量，然后代入方程求特征值。为了加快牛顿迭代收敛速度，本文提出了利用同伦方法进行特征值跟踪。这个方法解决了牛顿迭代初值难选的问题，从而使得算法能有效地运行。本文对非线性算法与经典了Jacobi方法以及QR方法进行了比较，从例子中不难看出，非线性算法在具体运用中是很有效的。此外，该算法的最大特点是：它很容易并行实现。然而，如果特征值是虚值的话，牛顿迭代不收敛，因此该算法只能求出矩阵的实特征值及其对应的特征向量。本文第三章分析了算法的收敛性及其稳定性，第四章讨论了算法的并行性及如何实现。第五章给出了一些数值例子，从这些例子不难看出非线性算法的许多特点。论文的第六章对Hacobi、QR、非线性算法进行了比较，从中可以看出，非线性算法的运算量为O(n~4)。

目录

前言

第一章 特征值问题与非线性算法

第二章 求解特征值问题的非线性方法

第三章 稳定性与收敛性分析

第四章 并行性分析

第五章 数值实验

第六章 线性算法与Jacobi算法、QR算法的比较

附录

参考文献

致谢