基于分数阶导数的静态黏弹性本构模型与应用

摘要

高聚物材料应用极为广泛,黏弹性是其最重要的力学性能之一。黏弹性按载荷变化规律可以分为静态黏弹性和动态黏弹性。本文基于分数阶微积分理论对高聚物的静态黏弹性进行研究,主要工作及结论如下:
　　1、详细探讨分数阶微积分的定义,并推导Riemann-Liouville型分数阶微积分的表达形式,介绍分数阶微积分的Laplace变换、Laplace逆变换及Fourier变换、Fourier逆变换以及Mittag-Leffler函数的使用条件。构建分数阶导数Maxwell模型、分数阶导数Kelvin模型、分数阶导数线性流变固体模型和自相似分数阶导数线性流变固体模型,并推导其存储模量、损耗模量、存储柔量、损耗柔量、损耗因子、蠕变柔量、松弛模量等。
　　2、分析分数阶导数Maxwell模型、分数阶导数Kelvin模型、分数阶导数线性流变固体模型蠕变柔量表达式中各参数的物理意义。用分数阶导数 Maxwell模型拟合试验数据,结果表明:弹性模量E与松弛时间τ随着温度升高而减小,但分数阶次α却变大;在一定时间内E,τ随着对数老化时间增加而线性增大,但α基本保持不变;用低温拟合参数计算的长期蠕变柔量与通过时温等效原理平移得到的主曲线几乎完全吻合,说明该模型能很好地预测高聚物长期蠕变行为。
　　3、分析分数阶导数Maxwell模型、分数阶导数Kelvin模型、分数阶导数线性流变固体模型松弛模量表达式中各参数的物理意义。由Mittag-Leffler函数变换性质可得分数阶导数线性流变固体模型的两种松弛模量表达形式,研究发现其中一种只需要增加取项即可精确表征应力松弛行为,并对该形式在不同项数时的误差进行了分析。分数阶导数线性流变固体模型与标准线性流变固体模型比较,结果说明分数阶导数模型能够更好地表征高聚物的黏弹性力学行为。
　　本文研究受到国家自然科学基金面上项目(10772156)、教育部科学技术重点项目(209085)、湖南省教育厅重点项目(08A069)和新世纪优秀人才支持计划项目(NCET-08-0685)的资助。

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第1章 绪论

1.1 高聚物简介

1.2 高聚物主要力学行为

1.3 时温等效原理

1.4 分数阶导数黏弹性本构关系研究进展

1.5 本文选题及研究内容简介

第2章 理论基础

2.1 分数阶微积分理论

2.2 Mittag-Leffler函数

2.3 分数阶导数黏弹性本构模型

2.4 本章小结

第3章 分数阶导数黏弹性模型的蠕变柔量

3.1 分数阶导数黏弹性模型的蠕变柔量参数分析

3.2 PMMA的蠕变测试及分数阶导数黏弹性模型分析

3.3 本章小结

第4章 分数阶导数黏弹性模型的松弛模量

4.1 分数阶导数黏弹性模型的松弛模量参数分析

4.2 聚丙烯的应力松弛测试及分数阶导数黏弹性模型分析

4.3 本章小结

总结与展望

参考文献

致谢

附录A 攻读硕士学位期间发表论文目录

附录B 攻读硕士学位期间参加的科研项目