最优控制问题RT1混合有限元方法

摘要

最优控制问题存在于现实生活中的各个方面,如温度控制问题、电磁场控制问题、空气污染控制问题、生物工程中细菌数量的控制问题和电气化学机器设计问题等等.有效的数值方法是将这些最优控制问题成功地应用于实际领域中去的关键.近些年,已经形成多种高效的数值计算方法来求解最优控制问题,其中有限元方法应用最为广泛.当最优控制问题的目标泛函中包含标量函数的梯度时,混合有限元方法便是一种最为有效的数值方法.本文中,作者将研究椭圆最优控制问题RT1混合有限元解的最大模和超收敛误差估计,以及抛物最优控制问题的先验和后验误差估计.
　　本文可分为三个部分.第一部分,本文研究了线性椭圆型最优控制问题.首先,利用变分原理推出最优控制问题的最优性条件,即一个由状态方程、对偶状态方程和一个变分不等式三者组成的系统;利用RT1混合有限元逼近状态和对偶状态变量,用分片线性不连续函数来离散控制变量,从而得到最优控制问题的混合有限元逼近格式.针对一类控制积分受限最优控制问题,采用陈焕贞和姜子文给出的格林函数以及对偶论证方法,得到最优控制问题混合有限元解的最优L∞先验误差估计.对于障碍型最优控制问题,采用C.Meyer和A.Rosch给出的基函数分析方法得到控制变量的L∞误差估计.最后,给出一些数值算例验证得到的理论结果.
　　第二部分,研究半线性椭圆最优控制问题.利用RT1混合有限元离散状态与对偶状态变量,用分片线性函数或分片常数函数来逼近控制变量.针对一类控制积分受限最优控制问题,当控制变量采用分片常数函数逼近时,通过后处理技巧,得到一个L2范数意义下的全局超收敛结果;当控制变量采用分片线性函数逼近时,得到最优控制问题混合有限元解的L∞误差估计.最后,给出一些数值算例验证得到的理论结果.
　　第三部分,分析抛物最优控制问题.这里状态与对偶状态变量采用RT1混合有限元离散,控制变量不离散或采用分片线性函数离散.首先,采用M.Hinze提出来的变分离散方法,不离散控制变量,通过对偶状态数值解的一个投影得到控制变量数值解,得到最优控制问题全离散格式的收敛性.接着,结合C.Makridakis和R.H.Nochetto提出的椭圆重构方法,得到一个抛物最优控制问题的后验误差估计.最后,给出数值算例验证得到的理论结果。

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第一章 绪 论

§1.1 研究背景与现状

§1.2 本文的主要内容

第二章 预 备 知 识

§2.1 常用记号

§2.2 基本定义和引理

第三章 线性椭圆最优控制问题RT1混合元最大模估计

§3.1 控制积分受限最优控制问题

§3.2 障碍型最优控制问题

第四章 半线性椭圆最优控制问题RT1混合元超收敛与最大模估计

§4.2 超收敛分析

§4.3 最大模估计

§4.4 数值算例

第五章 抛物最优控制问题RT1混合元先验与后验误差估计

§5.1 变分离散方法

§5.2 椭圆重构型后验误差

参考文献

致谢

个人简历

攻读博士学位期间已发表和完成的论文