非线性薛定谔方程保守恒性质间断有限元方法

摘要

本文主要讨论了非线性薛定谔方程在DDG和LDG两种不同的空间离散方法下，结合Crank-Nicolson和Strang-splitting时间离散方法的数值求解问题。
　　第一部分介绍了薛定谔方程的来源和研究现状。首先介绍了方程的产生背景及其在量子力学中的重要性。然后介绍了有限差分法，谱方法，时间分裂方法以及有限元法等数值离散方法在薛定谔方程上的应用现状以及得到的部分结论。
　　第二部分和第三部分分别推导了DDG和LDG的半离散和全离散格式，证明了两种格式在质量和能量上的守恒性质。首先，分别给出了方程(2.1)在1D与2D中的DDG和LDG两种格式，随之用Crank-Nicolson方法对时间离散，得到全离散格式。第二部分给出了DDG半离散格式的质量守恒性质，证明了半离散和全离散格式下的能量守恒性质。特别说明的是，此处的能量，并非传统的能量形式，见定理(2.4.1)。第三部分给出了LDG半离散格式下的保质量性质，证明了半离散格式的保能量性质。
　　第四部分给出了对非线性项的特殊处理。用Strang-splitting时间离散方法将方程(2.1)拆分成一个ODE方程(4.1)和一个线性薛定谔方程(4.2)，方便对方程的非线性部分的处理，能将更多的注意力放到本文要探讨的保结构性质上。这章节分别给出了Strang-splitting时间离散与DDG及LDG两种空间离散方法相结合的算法，同时证明了Strang-splitting数值方法的保质量守恒性质。
　　第五部分用1D和2D中的数值算例，验证了本文讨论的几个性质。在计算精度和收敛性上，都是在P2多项式空间中讨论，数值格式表明两种格式均能达到最优收敛阶。在计算效率上，无论是在1D或者在2D情况下，DDG方法均优于LDG方法。在保质量守恒性质上的验证，DDG和LDG两种格式都能在1D和2D两种空间的问题中保质量守恒。

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第一章 背景介绍

S1.1 方程来源

S1.2 研究现状

第二章 DDG格式及其性质

S2.1 一维非线性薛定谔方程DDG方法

S2.2 二维非线性薛定谔方程DDG格式

S2.3 半离散的保质量守恒性

S2.4 半离散的保能量守恒性

S2.5 全离散的保质量守恒性

第三章 LDG格式及其性质

S3.1 一维非线性薛定谔方程LDG方法

S3.2 二维非线性薛定谔方程LDG方法

S3.3 半离散的保质量守恒性

S3.4 半离散的保能量守恒性

第四章 时间离散方法

S4.1 Strang splitting DDG

S4.2 Strang splitting LDG

S4.3 Strang splitting的保质量守恒性

第五章 数值算例

S5.1 一维情形

S5.2 二维情形

第六章 总结与展望

参考文献

致谢