半线性偏微分方程多解计算新算法的研究

摘要

随着半线性偏微分方程在科学研究及工程设计中的应用日益广泛，其相关数值方法的研究越来越受到科学家们的关注，本文在山路算法(MPA)、高环绕算法(HLA)、搜索延拓法(SEM)、局部极小极大法(LMM)等方法的启发下，研究求解半线性偏微分方程边值问题的多解计算的高效算法。
　　 受[20]-[21]中解张成子空间S的启发，我们利用增广的思想引入一种在子空间S边界奇异的变化，使得当在子空间外选择一初值，数值算法得到的解序列并不能越过奇异线而找到子空间中的解，从而推广牛顿法找到更多不同解.本文中通过引入变量t构造更一般的非线性奇异增广函数G，将原半线性偏微分方程F的求解问题转化为增广函数G的求解问题，增广牛顿法的核心是构造增广函数，使得奇异结构发生变化，这也是区别于之前提出的方法的最大亮点，
　　 本文计算了取γ=6，f(χ，μ)=μs时方块域上的Henon方程。实验结果表明用增广函数G的相同的初值μ0可以求得不同的却具有相同对称性的多个解，也说明了在一定程度上缓解了对于初值的依赖，且在实验结果中求得了一些更一般的解。更有趣的是，与紧缩矩阵法(DMM)相比，殊途同归的避免了解序列重复收敛到已找到解，而无需依赖于人们的经验去构造特殊紧缩矩阵。已经求得的解的线性组合不是新解，但对收敛解有一定的影响，故在实验过程中还可以利用已经求得的解的一些性质，适当的设置初始系数t0，t01，…，t0k，使得初始掉入某特定解μ*的邻域中，以致加快收敛速度，减少迭代次数。特别值得指出的是，该增广牛顿法思想简单、易于程序实现，而且可将其推广到各种非线性方程和方程组的求解中。