复Malliavin算子及其应用

摘要

Malliavin随机变分已经成为随机分析领域最引人注目的领域之一，而且得到了越来越多的应用。本质上，它是由 Paul Malliavin于1976年建立的一套对Wiener泛函的相对微分运算。现在 Malliavin分析已经被运用到很多领域的研究，特别是随机金融数学中。为了解 Malliavin分析在金融上的应用，在本文的第二章，选取了其中最著名的一个例子——期权定价问题。其后，希望将Malliavin随机变分的一些基本理论做理论推广，向读者介绍在复数域上时Malliavin随机变分的一些性质。
　　第三章，从大家熟知的1-维实值 Malliavin算子出发，来研究尚未有人探究过的1-维复值情况，即复 Malliavin算子。这一部分研究了基本复 Malliavin型算子的定义，包括复的导算子，复的散度算子和复的O-U算子，然后详述了这三类算子的性质特征，得到了一些重要的定理和结论。
　　第四章则是为深化我们的上述的理论。列举了两个关于复Malliavin算子的应用。首先，用复散度算子定义复 Hermite多项式，并用上述复 Malliavin型算子的性质对复 Hermite多项式的性质进行研究。此外将 Malliavin型算子作用于形如F=f(N)的随机变量，并对这类型的随机变量f(N)的方差进行级数展开，其中 f是一个确定性函数，N是服从一维复标准高斯分布的随机变量。

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第一章 绪 论

1.1 研究背景和意义

1.1.1 研究背景

1.1.2研究意义

1.2国内外文献综述

1.2.1 关于 Malliavin随机变分学的综述

1.2.2 关于 Malliavin随机变分的应用的综述

1.2.3 关于期权定价方法的综述

1.3 研究内容与方法

1.3.1 研究的内容

1.3.2 研究的方法

1.4 研究的创新与不足

第二章 用Malliavin分析求解期权定价公式

2.1 期权的基本知识

2.1.1 期权与期权合约

2.1.2 期权的分类

2.1.3 期权价格及影响因素

2.2 期权定价公式

2.2.1 广义 Clark-Ocone公式

2.2.2 Black-Scholes期权定价公式

2.2.3 欧式看涨期权定价公式

第三章 一维复数空间上的Malliavin算子

3.1 复导算子

3.3.1 几个重要的结论

3.1.2 复p次导算子的定义

3.2 复散度算子

3.2.1 复p次散度算子的定义

3.2.2 复散度算子的性质

3.3 复O-U算子

3.3.1 复O-U半群

3.3.2 无穷小生成元

3.3.3 导算子与散度算子的可交换性

第四章 用复Malliavin算子级数展开 f (N)的方差

4.1 复Hermite多项式

4.1.1 复 Hermite多项式的定义

4.1.2 复 Hermite多项式的性质

4.2 方差展开式

第五章 结 语

5.1 主要结论

5.2 应用前景与工作展望

参考文献

致谢

附录 A: 攻读学位期间发表的学术论文