具有周期初始条件的微分方程间断有限元法研究

摘要

间断有限元方法是使用完全不连续的分片多项式空间作为解空间和检验函数空间的一类有限元方法，间断有限元法解偏微分方程的超收敛性质也是最近几年来本研究领域学者们非常感兴趣的研究主题。本文研究了求解一类一维具有周期初始条件的微分方程间断有限元计算方法及其收敛性质。
　　本文主要研究了具有周期初始条件的一阶双曲微分方程和抛物方程定解问题。对于一般的一阶双曲方程，首先将其转化等价具有周期边界的混合边界问题，研究了选取迎风数值流量时对应的有限元方法，构造校正函数得到超逼近有限元的插值函数，依次证明了一次间断有限元和任意间断有限元的逐点误差以及区间平均值误差估计；其次推导了一次有限元的时间向前全离散计算格式和向后全离散计算格式、二次有限元的4阶Runge-Kutta全离散计算格式；最初给出了两个数值例子验证了计算方法的有效性。对于一般的抛物方程定解问题，简单介绍了局部间断元方法，并推导了一次元的时间向前全离散计算格式和向后全离散计算格式；二次有限元的4阶Runge-Kutta全离散计算格式。

目录

声明

第一章 绪论

第二章 预备知识

2.1基本记号和重要定理

2.2几种常用不等式

第三章 一般的一维具有周期初始条件的双曲方程

3.1 间断有限元方法

3.2 一次间断元研究

3.2.1 插值函数及其校正函数的构造

3.2.2 间断有限元收敛性及其证明

3.3 任意元k次元研究

3.3.1 改进的插值函数及其校正函数的构造

3.3.2 间断有限元收敛性及其证明

3.4 计算方法与数值实验

3.4.1 一次间断元的计算格式

3.4.2 二次间断元的计算格式

3.4.3计算数例

第四章 具有周期初始条件的抛物方程

4.1 混合间断有限元格式

4.2 一次间断元计算

4.3二次间断元计算

第五章 结论与展望

参考文献

附录A

附录B

致谢