基于三维实体的弹性结构屈曲分析及其边界面法实现

摘要

本文重点研究了一般性的三维结构的弹性屈曲问题及其边界面法求解。文中提出了基于三维弹性理论的屈曲微分方程，并导出了相应的边界积分方程，建立了边界面法求解流程，并编写出特征值屈曲分析的通用程序。最后通过几个数值算例说明了基于三维实体的弹性屈曲理论的正确性和对不同结构的适用性。
　　在传统的弹性屈曲分析中，不论是线性的特征值屈曲分析或非线性屈曲分析，都是针对易曲结构的变形特点，基于杆、板、壳提出一系列的变形假设来建立各自的屈曲方程。这样的假设固然使问题得到简化，同时在理论上带来了本构关系和边界条件不一致的矛盾，在前人的试验中也证实了试验值和理论值之间存在巨大的偏差。为了尽量减小传统屈曲分析结果与实际结果之间的分歧，提出一种新的思路，放弃杆、板、壳的变形假设，直接基于三维弹性理论导出结构的屈曲方程。研究结构的平衡路径，发现屈曲即是由于存在多种平衡路径，在数学上即微分方程存在多解的情况，揭示出屈曲问题的非线性本质。屈曲现象中拓扑形式的突变，表明微体的几何关系和平衡方程不可由小变形假设来建立，必须由几何非线性的理论来建立。在第二章中，应用非线性几何关系，即Green应变张量，和稳定性判定的能量准则，在完全Lagrange格式下，建立了基于三维实体的弹性屈曲方程。为了使问题规模简化，引入了两条假设：一是假设本构关系是线性的，满足广义胡克定律；二是假设前屈曲状态满足小变形假设，可以通过线弹性分析获得初始应力。这两条假设使形式比较复杂的屈曲方程转化为线性的特征值屈曲方程。
　　本文应用由张见明提出的边界面法求解上述的屈曲方程。该方法继承了边界元法的所有特点。相比于传统的边界元法，边界面法将数值积分和几何数据的计算基于曲面参数空间内，避免了边界曲面在几何上的误差，具有比边界元更高的精度，并且更容易实现与CAD系统的无缝连接。在论文的第三章中，建立了屈曲分析的边界面法求解流程，采用Kelvin基本解，导出了边界积分方程，并应用双重互易法处理域内积分问题，最终建立了屈曲问题的离散格式，组装了特征矩阵。本文用C++语言建立了边界面法屈曲分析的通用程序，并在第四章给出一些典型数值算例，通过与有限元结果的对比，临界载荷结果比较接近，说明边界面法屈曲分析的有效性，同时说明了边界面法只需较少的结点便可得到与有限元结果相似的精度，这体现了边界面法的降维优势。

目录

文摘

英文文摘

第1章 绪论

1.1 研究背景

1.2 研究意义

1.3 研究的主要内容

第2章 弹性屈曲理论

2.1 弹性系统稳定性判定准则

2.1.1 静力学准则

2.1.2 能量准则

2.2 近代非线性屈曲理论

2.2.1 非线性大挠度理论

2.2.2 初始后屈曲理论

2.2.3 非线性前屈曲一致理论

2.3 三维弹性体屈曲微分方程的建立

2.3.1 屈曲问题的非线性性质

2.3.2 应用能量准则建立屈曲方程

2.3.3 三维弹性屈曲方程的边界条件

2.4 三维弹性屈曲理论与薄板及压杆屈曲理论的统一性论证

2.5 小结

第3章 弹性屈曲方程的边界面法求解理论

3.1 边界面法简介

3.2 屈曲问题的边界积分方程理论

3.2.1 基本解

3.2.2 边界积分方程

3.2.3 域内积分的处理

3.3 屈曲问题的离散格式

3.4 特征值矩阵的组装

3.5 小结

第4章 程序实现及数值算例

4.1 屈曲问题的分析流程及程序框架设计

4.2 数值算例

4.2.1 圆形截面杆轴压屈曲

4.2.2 矩形薄板的屈曲

4.2.3 圆形薄板的屈曲

4.2.4 圆柱壳的轴压屈曲

4.3 小结

结 论

参考文献

致 谢