自适应快速多极子边界面算法分析大规模声学问题

摘要

声学问题仿真计算在很多工程领域对于改进产品的性能，进而提高产品竞争力，以及提高人们的生活质量有着不容忽视的作用。边界面法是一种新型边界类型算法，它是在边界元法和边界点法基础上发展起来的，是基于精确边界几何表征的边界元法的一种新的实现形式。边界面法继承了边界元法的特点，具有只离散模型表面边界，自动降低一阶求解问题维数，网格划分快，计算精度高，而且边界积分方程能够自动满足无穷远处的Sommerfeld辐射条件等优点，故特别适合于求解无限域问题。另外，边界面法的执行直接基于CAD软件中的边界表征数据结构，可以很自然地实现CAE仿真分析与CAD模型的无缝连接。而直接基于三维CAD模型的声学仿真分析，在提高产品设计效率，节约产品研发投入，减少产品研发时间有着重要的意义。但是，由于边界面法的系数矩阵是稠密、满秩、非对称的，当计算自由度为N，其存储量是O(N2)，直接求解计算的计算量是O(N3)。同时受到计算机硬件设施的限制，很难进行大规模数值计算。在边界面法的程序中，可以有效计算的节点数不超过3000。本文在对快速多极子算法和边界面法深入研究的基础上，提出一种直接基于三维CAD模型，进行大规模声学问题仿真分析的自适应快速多极子边界面算法。
　　 本论文完成了如下研究工作:
　　 (1)应用边界面法解决无限域声学问题。本文基于Burton-Miller方程，使用边界面法解决全频域无限域声学问题。边界面法是在对应实体边界曲面的二维参数曲面上划分网格，然后映射到实体曲面上，完成实体边界表面的网格离散。边界面法的几何数据处理是基于边界表征数据结构，可以有效的保证计算模型的几何数据信息和原始模型一致，因而边界面法具有和CAD模型无缝连接的天然优势。本文将边界面法分析声学问题的程序和著名的商业CAD软件UG-NX耦合解决声学问题，将模型建立和数值仿真分析集成于同一个程序框架之内，提出直接基于三维CAD模型分析声学问题的计算方法。
　　 (2)提出一种解决大规模无限域声学问题的自适应快速多极子边界面算法。边界面法的系数矩阵是满秩、稠密、非对称矩阵的特点，使得大规模声学问题仿真分析计算很难实现。本文提出的快速多极子边界面算法继承了边界面法计算模型是精确模型、可以和商业CAD软件天然无缝连接的优点，并且将边界面法的计算复杂度和存储量都降为O（N)，可以有效的进行大规模计算。提出的算法还使用高阶单元进一步提高计算精度和计算效率。同时，一种可以有效匹配计算模型的自适应树结构在快速多极子算法中被使用，这种树结构特别适用于扁长体结构模型，可以显著地提高程序的计算效率。另外，一个自适应展开阶被提出，该自适应展开阶可以有效的提高快速多极子边界面算法的计算效率。
　　 (3)对于带两端开口小孔结构模型进行直接声学问题分析。在实际工程应用中，一些带有小孔结构模型的单元划分需要非常多的网格数目和划分时间。同时，由于网格数目过多和密集，极大的增加了计算难度。并且如果小孔数目过多，网格划分不一定能够成功。本文结合一种新的单元划分方式，使用快速多极子边界面算法分析带小孔结构模型声学问题。该划分是在二维参数空间实现的，然后通过函数映射到实体空间，可以用几个单元离散小孔结构表面和小孔开口表面附近边界区域。提出的自适应快速多极子边界面算法并不是等效算法，而是一种直接对原始模型进行仿真分析的算法。
　　 (4)将提出的全空间自适应快速多极子边界面算法扩展到半空间声学问题领域，提出一种半空间快速多极子边界面算法。提出的算法基于半空间Green函数，只需要在实体的边界进行离散，可以减少问题的计算自由度，降低问题的求解难度。同时，快速多极子边界面算法中的树结构也只需要在实体边界上构建，降低了树结构深度和M2L变换次数。另外，根据使用半空间Green函数求解问题的性质，对超奇异积分方程的核函数和其弱奇异积分形式进行相应修改，可以有效的和常规边界积分方程结合，使用Burton-Miller方程解决全频域半空间无限域声学问题。

目录

声明

摘要

第1章 绪论

1．1 选题的依据和意义

1．2 文献综述

1．2．1 声学边界元法的研究现状

1．2．2 快速多极子边界元算法

1．2．3 边界面法

1．3 本文的研究目标和主要内容

第2章 应用边界面法解决声学问题

2．1 引言

2．2 声学问题基本方程

2．2．1 声学问题基本控制方程

2．2．2 声学问题基本解

2．3 声学问题边界积分方程

2．3．1 常规边界积分方程

2．3．2 超奇异边界积分方程

2．3．3 Burton-Miller方程

2．4 声学边界面法及边界积分方程离散

2．4．1 边界面法

2．4．2 边界积分方程离散

2．4．3 声场声压值计算

2．5 UG二次开发及程序设计

2．5．1 UG二次开发简介

2．5．2 UG二次开发实现BFM

2．5．3 程序设计及流程

2．6 数值算例

2．6．1 边界面法解决辐射问题

2．6．2 边界面法解决散射问题

2．6．3 边界面法和边界元法的比较

2．6．4 复杂结构模型声学辐射问题

2．7 小结

第3章 自适应快速多极子边界面算法

3．1 引言

3．2 快速多极子边界面算法的基本思想

3．3 快速多极子边界面算法展开公式

3．3．1 Helmholtz边界积分方程的基本解展开

3．3．2 Helmholtz边界积分方程的多极子展开变换

3．3．3 Laplace边界积分方程的基本解展开

3．3．4 Laplace边界积分方程的多极子展开变换

3．3．5 快速多极子展开阶

3．4 自适应树结构

3．4．1 标准树结构

3．4．2 自适应树结构

3．5 迭代算法和预处理矩阵

3．5．1 GMRES迭代算法

3．5．2 块对角预处理矩阵

3．6 快速多极子边界面算法的计算步骤

3．7 程序流程及计算复杂度分析

3．7．1 程序流程设计

3．7．2 计算复杂度分析

3．8 数值试验

3．8．1 验证自适应快速多极子边界面算法

3．8．2 自适应快速多极子边界面算法的表现

3．8．3 远域计算的表现

3．8．4 验证自适应展开阶的有效性

3．8．5 复杂机械部件模型的辐射问题

3．9 小结

第4章 带小孔结构模型的声学问题分析

4．1 引言

4．2 带小孔结构模型的边界积分方程

4．3 带小孔结构模型的单元构造方式

4．3．1 管道单元

4．3．2 带负积分的三角形单元

4．3．3 不带负积分的单元

4．4 自适应快速多极子边界面算法

4．5 数值算例

4．5．1 验证算法的有效性和其计算效率

4．5．2 本章提出的两种单元比较

4．5．3 验证所提出两种单元对于含有大量小孔结构模型的有效性

4．5．4 简单消声器模型的仿真计算

4．6 小结

第5章 半空间声学问题分析

5．1 引言

5．2 半空间声学问题边界积分方程

5．2．1 半空间声学问题常规边界积分方程

5．2．2 半空间声学问题超奇异边界积分方程

5．2．3 Burton-Miller方程

5．3 半空间快速多极子边界面算法

5．3．1 半空间快速多极子边界面算法的展开式

5．3．2 半空间快速多极子边界面算法的计算步骤

5．4 数值算例

5．5．1 验证半空间快速多极子边界面算法的有效性

5．5．2 半空间快速多极于边界面算法的表现

5．5．3 声屏障问题分析

5．5 小结

结论与展望

参考文献

致谢

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