求解最佳相关矩阵问题的数值算法

摘要

最佳相关矩阵问题是指在 Frobenius范数下寻找与给定的对称矩阵最接近的相关矩阵.最佳相关矩阵问题一般有不带权、带W权、带H权、带Q权等类型.本文主要针对前三种类型的理论和数值解法展开进一步的研究.
　　本文首先介绍了最佳相关矩阵问题的研究现状和进展，在此基础上提出了本文的工作构想.同时，为方便后面的研究，本文给出了最优化的一些基础知识以及相关的优化算法.
　　在第二章,首先研究了W权问题的特殊形式—不带权问题的理论与数值解法.对于不带权问题，分析了它与它的对偶问题之间的关系—原问题的解可用其对偶问题的解表示.由于对偶问题等价于一个半光滑方程组，在求解半光滑方程组的牛顿法的基础上，利用正则化策略修改牛顿方程，提出了求解半光滑方程组的正则化牛顿法.它的优点是计算出的搜索方向一定是目标函数的下降方向，有效克服了半光滑牛顿法的固有缺陷.为了提高正则化牛顿法的效率，研究了求解牛顿方程的共轭梯度法(即内层迭代)的预处理策略、内层迭代控制变量取值的优化处理，然后提出了一个改善的正则化牛顿法，并分析了它的全局收敛性和二次收敛速度.最后，研究了改善的正则化牛顿法的计算解的相关性处理，使得最终计算出的解更接近相关矩阵，并分析了它与最优解的误差估计.由于一般的W权问题可以通过简单的变换转化为不带权问题，因此上面关于不带权问题的研究工作可推广到一般的W权问题的求解.
　　第三章分析了带H权问题的理论和数值解法.首先给出了这类问题的约束非退化性质和强二阶充分条件，以及广义Jacobi的计算公式，然后在此基础上对求解 H权问题的牛顿—共轭梯度法(Newton-CG法)进行了改善.在内层迭代中，利用目标函数在迭代点处的一阶、二阶信息对控制变量的取值进行重新定义，均衡内外层迭代的计算量，有效提高算法的效率.通过简单的分析得出改善后的Newton-CG法仍然具有二次收敛性.
　　最后对本文提出的所有算法进行了数值测试.数值实验结果表明，本文所提出的算法具有很好的数值效果.

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第1章 绪论

1.1 研究背景与进展

1.2 预备知识

1.3 本文主要的研究工作与创新点

第2章 求解W权问题的正则化牛顿法

2.1 对偶问题及性质

2.2 广义Jacobi的计算

2.3 求解半光滑方程组的正则化牛顿法

2.4 改善的正则化牛顿法

2.5 返回矩阵的相关性处理

2.6 求解带W权的最佳相关矩阵问题的正则化牛顿法

2.7 本章小结

第3章 求解H权问题的增广拉格朗日对偶法

3.1 约束非退化与强二阶充分条件

3.2 求解H权问题的增广拉格朗日对偶算法

3.3 本章小结

第4章 数值实验

4.1 求解不带权问题的正则化牛顿法的数值实验与分析

4.2 求解W权问题的正则化牛顿法的数值实验与分析

4.3 求解H权问题的增广拉格朗日对偶算法的数值实验与分析

结论

参考文献

附录 攻读学位期间所发表的学术论文目录

致谢