弹性接触问题的边界面法分析及其低秩近似快速算法

摘要

在机械工程领域中，机械部件之间通过接触关系进行运动和载荷的传递，如齿轮啮合、滚动轴承等。接触过程中往往伴随着应力集中现象的产生，这也是机械部件出现早期裂纹、裂纹扩展甚至疲劳断裂的重要原因。因此，接触问题的研究具有重要的工程实际意义。
　　随着 CAE技术的发展，有限元法、边界元法等数值计算方法被用于分析工程中的接触问题。然而，无论是有限元法还是边界元法，它们的CAE模型中都只包含了网格的几何信息，CAE模型和CAD模型彼此相互独立。因此，从 CAD实体模型到 CAE网格模型，就不可避免地引入了离散几何误差。边界面法是一种基于边界积分方程和计算机图形学的新的边界类型数值计算方法。它将边界积分方程和CAD造型系统中的边界表征(B-Rep)数据结构有机地结合起来，在CAD模型的曲面参数空间中进行边界积分方程的离散和变量插值近似，积分单元上的几何数据直接通过曲面的参数空间获得，而不是根据网格近似计算，避免了离散几何误差。而且，在边界面法中位移和面力同时作为方程的未知量，可以通过位移和面力直接施加接触条件。本文基于边界面法理论实现了弹性接触问题的数值分析，解决了接触非线性计算过程中的一些关键问题。同时，对于边界面法系数矩阵的低秩近似，本文在研究自适应交叉近似算法的基础上，尝试提出基于节点几何信息的无迭代交叉近似算法。本文的主要研究工作和成果如下：
　　(1)将边界面法扩展到多域弹性力学问题。
　　接触问题中，接触条件的单边不等式约束特点，即便是线弹性材料的相互接触，也往往产生非线性。但是，从数值分析的角度来看，弹性接触问题是一种具有特殊界面条件的多域问题。因此，作为分析弹性接触问题的基础，本文首先将边界面法扩展到多域弹性力学问题中，设计独立的交界面 C++数据结构，用于处理多域问题和接触问题中的交界面条件，也为下面实现基于曲面参数空间的接触搜索算法提供便利。
　　(2)提出基于曲面参数空间的接触搜索算法。
　　边界面法的数据结构中不仅包含了离散的网格信息，还包含了边界曲面的参数化信息。本文在边界面法的理论框架下，提出在接触曲面的参数空间中实现接触搜索。首先计算节点到整个接触面的投影过程，可以得到接触面上投影点的参数坐标；然后，在接触面的参数空间中引入四叉树结构，通过树结构的分级特性，可以快速搜索到投影点所在的单元(单元在参数空间中所对应的区域)。
　　(3)采用点对面(NTS)接触离散模型，建立无摩擦和摩擦接触约束方程。
　　在接触问题的数值算法中，接触离散模型定义了接触体之间运动和载荷的传递方式。早期的点对点(NTN)接触离散模型，要求在接触面上节点与节点一一对应，在节点对之间建立接触约束方程，网格划分困难；本文将有限元接触算法中广泛使用的点对面(NTS)接触离散模型引入到边界面接触算法中，在接触边界上通过单元插值的方式，定义投影点与单元节点的接触约束关系，从而建立无摩擦和摩擦接触问题的接触约束方程。这样使得两个接触体可以独立划分网格，降低了划分网格难度。
　　(4)提出一种接触迭代算法，实现边界面法分析无摩擦接触问题。
　　由于不考虑摩擦影响，最终的接触状态与加载路径无关。因此，无摩擦接触问题的非线性来自于接触边界的事先未知。本文采用迭代过程处理无摩擦接触的非线性。首先假设初始的接触区，根据初始假设建立接触约束方程，组装整体系统方程并进行第一次计算。然后判断接触区节点是否满足接触条件(非穿透性条件和压应力条件)。如果不满足接触条件，则更新接触约束重新进行计算。每个迭代步中，需要不断修正接触区的大小，直至接触区上所有节点满足接触条件。
　　(5)提出一种增量-迭代算法，实现边界面法分析摩擦接触问题。
　　在摩擦接触问题中，由于摩擦过程是不可逆的，最终的接触状态与加载路径有关，需要采用增量形式的加载过程。由于接触边界和摩擦状态均事先未知，摩擦接触问题具有更强的非线性。本文借鉴有限元法中处理摩擦接触问题的增量技术，提出了一种增量-迭代算法。在法向接触中，根据非穿透接触条件和压应力条件对接触区进行迭代计算。在切向接触中，根据库伦摩擦定律判断节点的摩擦状态并建立相应的接触约束方程。当增量步中发生穿透时，根据节点的穿透量来细分该增量步，并重新开始该增量步的计算。在增量步之间，将上一增量步接触区节点的摩擦状态和滑移角作为下一增量步开始时的初始假设，然后进行迭代计算。
　　(6)提出基于节点几何信息的无迭代交叉近似算法。
　　无论是快速多极算法还是自适应交叉近似算法都是利用了边界积分方程中基本解的远场衰减特性，对其远场矩阵快进行低秩近似。在边界面法中采用高次单元时，有效的数值积分流程往往是：先在一个积分单元上计算得到数值积分所需的数据(如高斯积分点坐标、法向量、雅可比系数等)，然后对所有源点循环。如果反过来，用一个节点对所有单元循环，则需要对单元上的积分数据进行重复计算，降低了计算效率。
　　在自适应交叉近似算法的迭代过程中，需要对单元上的积分数据进行重复计算，而且每个迭代步中都要估计低秩近似的误差，误差估计占整个迭代过程计算量的主要部分。无需迭代的交叉近似算法显然能大大提高计算效率。因此，本文尝试提出了基于节点几何信息的无迭代交叉近似算法，可以在数值积分之前确定骨架点的位置，这样就可以继续采用一个单元对所有源点进行循环的计算方式，避免了对单元上的积分数据进行重复计算。

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第1章 绪论

1.1 选题的背景和意义

1.2 边界面法的发展概述

1.3 接触问题的边界元法研究概况

1.4 边界元快速算法研究概况

1.5 本文的主要研究内容

第2章 弹性静力学问题的边界面法

2.1 引言

2.2 三维弹性静力学问题的边界面法

2.3 数值算例

2.4 本章小结

第3章 无摩擦弹性接触问题的边界面法研究

3.1 引言

3.2 接触问题的描述

3.3 无摩擦接触条件数学模型

3.4 基于曲面参数空间的快速接触搜索方法

3.5 边界面法分析无摩擦弹性接触问题

3.6 接触问题应用程序的交互界面设计

3.7 数值算例

3.8 本章小结

第4章 摩擦弹性接触问题的边界面法研究

4.1 引言

4.2 库伦摩擦定律

4.3 摩擦接触条件数学模型

4.4 边界面法分析摩擦弹性接触问题

4.5 数值算例

4.6 本章小结

第5章 边界面法低秩矩阵交叉近似算法研究

5.1 引言

5.2 矩阵低秩近似原理

5.3 自适应交叉近似算法

5.4 基于几何信息的无迭代交叉近似算法

5.5 数值算例

5.6 本章小结

结论与展望

参考文献

附录A 攻读学位期间所发表的学术论文目录

附录B 攻读学位期间参与的研究课题

致谢