随机Gilpin-Ayala竞争模型的渐近性质

摘要

在有关生态动力系统的模型中，Lotka-Volterra模型为其中重要的一个，它的有关研究一直以来是一个热门。到目前为止，对它的研究主要集中在确定状态下的方程所反映出来的一些性质，对于随机的Lotka-Volterra竞争模型的相关研究直到最近，才有突破性的进展，这方面得益于毛学荣等的有效而且有益的工作。在1973年，Gilpin和Ayala提出了对Lotka-Volterra竞争模型的一个很好的修正，即Gilpin—Ayala竞争模型。这个模型相比Lotka-Volterra模型更具一般性和现实性，对它的研究却相对较少。主要是Lotka-Volterra模型是一种二次系统，研究上有比较多的工具可以使用，而Gilpin—Ayala竞争模型是一个高度的非线性系统，对它的研究困难相对较大。
　　 本文选取随机Gilpin—Ayala竞争模型中几类具有代表性的方程，研究了它们所反映出来的性质。首先，我们对随机Lotka-Volterra竞争模型的研究现状做一个总结，主要是关于它的非爆炸性，矩有界性和轨道有界性等性质方面的一个总结。同时为我们的扩展推广做一个基本的内容和方式上的准备。其次，我们在第三部分专门讨论了一类随机Gilpin—Ayala竞争模型的稳定性的问题，主要是为了给下面对随机Gilpin—Ayala竞争模型的其他性质的讨论提供方法技巧上的一些铺垫。当然，关于稳定性的研究本身也是对一个随机系统研究的核心问题之一。最后，本文的第四、第五、第六和第七部分分别讨论了没有时滞，带时滞的和带Markov调制的的随机Gilpin—Ayala模型的性质，也就是：全局正解的存在条件，这方面的研究融合了本文第三部分用到的转化二次的技巧。由于这类模型一般性，我们的有些结论中对修正参数θi，I ∈ {1，2，...，d}做了较强的限制。我们得到的结论可以把随机的Lotka—Volterra竞争模型的相应结论作为它的特例；同时这部分在方程形式上也相应的做了一些扩展，内容形式上更丰富一些。解的随机有界性，渐近估计，轨道估计也是我们研究的一个重点。在这方面，可以看到不同的方程所反映出来的不同的特质和研究上的不同(主要是在一些处理上的不同)。如果将这些和随机Lotka—Volterra模型所反映出来的性质做一个比较，可以看出我们的这个推广包含了原有的一些结论做为特例，同时原有的那些方式和方法也得到了延续和改变，也得出了一些随机Gilpin—Ayala竞争模型所特有的新结论。总之，本文就几类特殊的随机Gilpin—Ayala模型的稳定性、随机有界性、渐近估计、轨道估计等性质进行了讨论。得出的一些相关结论，一方面包括了随机Lotka—Volterra模型的类似结论；另一方面也开创了对随机Gilpin—Ayala模型本身讨论的新河，在这个方面还仅仅是个起步，还有很多，很有意义的事情值得去讨论。