非Lipschitz系数随机偏微分方程的逼近

摘要

随机微分方程一词通常是指随机常微分方程，其理论起源于20世纪40年代由日本数学家It^o:K 创立的It^o 随机积分和It^o 型积分方程. 逐渐的，随机微分方程发展成为随机分析领域中一个美妙且富有成果的分支. 到了20世纪七十年代中期，许多学科(尤其在物理,生物和控制理论)中出现了大量用随机偏微分方程刻画的数学模型,这类方程的出现给随机分析这一领域极大的刺激，开始引起许多研究者的兴趣，并成为随机分析领域最为活跃的分支之一. 本文研究了非Lipschitz系数随机反应扩散方程和随机半线性波动方程适度解的存在惟一性定理. 首先利用算子生成的半群，将上述方程转化成为一个积分方程，再对积分方程利用Picard 迭代并借助于Gronall ? Bellman 引理，构造出上述积分方程的一个适度解并证明了解的惟一性. 从而证明了上述随机偏微分方程适度解的存在惟一性定理. 本文分为三章. 作为预备知识，在第一章中利用Hilbert空间H中的核算子R和一列独立的一维标准Brown 运动，构造出了空间H中的R ?Wiener过程. 其次，分三个步骤构造出H 值的连续适应随机场关于R ?Wiener 过程的随机积分. 第二章中研究了非Lipschitz系数下的一个具有初边值随机反应扩散方程的适度解的存在惟一性定理. 本章利用Picard 迭代构造出方程的一个适度解并证明了解的惟一性. 第三章中应用和第二章中相同的思想及方法研究了非Lipschitz系数下的一个具有初边值随机半线性波动方程的适度解的存在惟一性定理.