标的资产服从分数Brown运动的欧式期权定价

摘要

在以股票作为标的资产的期权定价研究中，研究股票价格服从分数Brown运动的期权定价，比传统的由标准Brown运动驱动的股票期权问题更具现实性，更适合解决实际资本市场中的金融问题。从资本市场的分形角度出发，本文假设股票价格变动服从分数Brown运动来研究期权定价问题，在理论和实践上有很大意义。
　　 本文的第一部分是陈述了期权定价的发展历程，介绍了众多学者所做的工作及贡献，回顾了在期权定价中所应用到的数学基础知识，然后介绍了Black-Scholes公式的产生及修正过程，介绍了分数Brown运动及金融中分数过程的逼近的知识，并介绍了分数Brown运动与期权定价的关系。本文的第二部分也即本文的主要部分，是用一个半鞅过程逼近基于分数Brown运动的、不是半鞅的价格过程，获得了单分数Brown运动以及混合分数Brown运动下的期权定价控制方程，然后利用同样的方法得到了标的资产基于O-U分数过程和CIR分数模型的期权定价的控制方程。对于单分数Brown运动情况下，即H∈(1/3,1/2)时的期权定价问题进行分析时，分别对股票价格取对数以及不取对数的情况进行了分析，对于混合分数Brown运动情况下的分析，是对H1∈(1/3,1/2)，H2∈(1/2,1)，且H1+H2>1的情况下的分析。单分数Brown运动以及混合分数Brown运动下的期权定价控制方程，其形式与经典的B-S公式相似，本文直接给出了其解析解，对于标的资产基于O-U分数过程和CIR分数模型的期权定价的控制方程，其形式相对复杂，本文给出了相应的分析。