基于Chebyshev多项式的动力学不确定性区间算法研究

摘要

工程问题基本都依赖于数学模型进行描述,而动力学问题的控制方程则为微分方程,包括常微分方程、微分代数方程、偏微分方程等。要实现对动力学系统的分析、控制等操作,则需要求解这些微分方程。传统方法求解这些数学模型时,均假定模型中的参数已经准确获得。但是在实际问题中,模型中的许多参数并不能准确获得,这些不确定参数可能导致系统的实际响应与理想情况存在较大差别。为更加准确地分析系统响应,需要引入不确定性分析方法。不确定性研究方法主要包括概率方法、模糊方法和区间方法。区间方法因其只需要不确定参数的上、下界信息,而不需要不确定参数的概率分布信息或模糊隶属度函数,已逐渐成为概率方法的一个重要补充。本文主要研究区间方法求解含不确定参数的动力学系统,以及由此衍生出的处理黑箱模型的高阶多项式响应面方法,具体研究内容如下:
　　本文利用Chebyshev多项式在近似理论中具有很高近似精度的特点,提出了基于Chebyshev级数展开的Chebyshev区间扩张函数。区间算法的优点是能够快速地计算出含不确定参数函数的变化区间,其缺点是区间算法的“包裹效应”会导致结果区间被过度放大。几乎所有关于区间算法的研究都围绕着如何压缩或控制包裹效应这一难题。Chebyshev扩张函数相对于传统的Taylor扩张函数,特别是在计算非单调函数的变化区间时,能更有效地压缩区间算法的包裹效应。与此同时,建立Chebyshev区间扩张函数时只需要计算原函数在插值点的输出,比建立Taylor区间扩张函数时需要计算原函数的高阶导数的要求更容易实现。
　　推导了基于Chebyshev区间扩张函数的求解含不确定参数的常微分方程的数值方法。该方法是一种非插入式方法,其求解算法不需要嵌入到ODE求解器中,只需要在求解器外层增加相应的前处理和后处理即可。传统的Taylor级数法和Taylor模型法均为插入式方法,需要改变传统的ODE数值求解器本身,因此本文提出的Chebyshev方法更容易实现。本文还推导了Taylor模型的近似法,该方法相对严格的Taylor模型法的计算量更小。数值算例结果显示,在处理非线性问题时,Chebyshev方法相对于近似Taylor模型法不仅具有更高的求解精度还有更高的计算效率。
　　推导了基于二阶Taylor扩张函数的求解含不确定参数的多体动力学系统的数值方法,通过将系统含不确定参数的原控制方程转换为三组仅含确定参数的控制方程来求解多体动力学系统。由于该转换过程比较复杂,且很难向更高阶次的Taylor扩张函数拓展以获得更高的精度,本文提出了另一种基于Chebyshev扩张函数的求解含不确定参数的多体动力学系统的数值方法。该方法的实现过程相对简单,只需要求解控制方程在不同插值点处的解,然后利用这些解构造Chebyshev扩张函数。该Chebyshev方法可以较方便地往更高阶次的Chebyshev扩张函数拓展,并获得更高的求解精度。数值算例结果显示,Chebyshev扩张函数法相对Taylor扩张函数法可以获得更高的计算精度和效率。
　　将建立Chebyshev扩张函数的过程用于构造替代模型,使该方法所能处理的问题拓展至黑箱模型。本文提出并证明了采用多项式建立回归模型时,其近似精度仅取决于采样点的理论。为提高近似模型精度,本文以Chebyshev多项式的零点作为采样点构造高阶多项式回归模型,分别提出了CTP和CCM两种采样方法。经测试表明,相对于经典的Smolyak稀疏网格和Hammersley采样方法,CTP在处理低维变量问题时拥有最高的精度,而CCM处理高维变量问题的精度最高。

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1 绪 论

1.1课题来源、目的及意义

1.2不确定方法研究综述

1.3区间算法研究现状

1.4本文研究内容、创新点与组织结构

2 区间算法理论及处理静态问题方法

2.1区间算法基本规则

2.2区间扩张函数

2.3区间收缩

2.4区间全局优化算法

2.5小结

3 基于区间算法的含不确定参数常微分方程求解方法

3.1 问题描述

3.2 Taylor级数方法

3.3 Taylor模型方法

3.4 Chebyshev多项式方法

3.5 数值算例

3.6 小结

4 基于区间算法的含不确定参数多体动力学系统求解方法

4.1 问题描述

4.2多体动力学系统控制方程及经典数值求解方法

4.3 Taylor扩张函数求解含不确定参数的多体动力学系统

4.4 Chebyshev扩张函数求解含不确定参数的多体动力学系统

4.5 数值算例

4.6 小结

5 基于Chebyshev多项式零点的采样方法研究

5.1 采样方法介绍

5.2 高阶多项式模型

5.3 Smolyak稀疏网格和Hammersley采样方法

5.4 基于Chebyshev多项式零点的采样方法

5.5 各种采样方法的比较

5.6 小结

6 全文总结与研究展望

6.1 全文总结

6.2 研究展望

致谢

参考文献

附录 攻读博士学位期间发表论文目录