基于无穷纯跳Levy过程的欧式期权定价研究

摘要

随着金融衍生产品在世界金融市场的日益盛行,期权定价已成为金融学领域研究的热点。期权定价的理论源自1973年著名的BS公式,然而依赖于此定价系统的期权市场却日益暴漏出其弊端和缺陷,如波动率微笑现象、均值回复性、资产收益分布的尖峰厚尾性、杠杆效应以及跳跃现象等等,如何对BS模型进行改进以囊括更多的市场数据特征,使得定价模型与实际市场更加吻合,如何寻求精确而且高效的的数值解法,从而更快更好地服务于金融实践,这正是本文试图探索的问题。
　　本文在BS模型的基础上,建立了基于无穷纯跳Levy过程的且带有均值回复和CEV波动特征的欧式期权定价模型,并从数学理论和经济背景双重视觉阐释了本模型的合理性和优越性,比如它能有效刻画市场上的波动率微笑现象、均值回复性、资产收益分布的尖峰厚尾性、杠杆效应以及大小跳跃现象,又如它具有一般性和更好的拓展性。基于Levy过程下的市场的不完备性,本文试图将鞅方法和特征函数法相结合来求得该模型的解析解,为此推导出了基于Levy过程的Ito公式,并对原模型进行了代换处理。鉴于原模型系数的复杂性,难以寻找到其等价鞅测度,故而暂时将模型进行退化处理,先推导出了一般性结论,即已知资产价格的对数的特征函数时的期权定价公式,然后运用Levy过程下的Ito公式和Girsanov定理以及一些相应的概率知识求解出退化模型下资产价格的对数的特征函数,然后代入已推得的一般性命题,从而求出该模型下的欧式看涨期权定价公式。最后,假定模型中Levy过程为一具体的VG过程的情形下,给出MonteCarlo模拟和FFT数值模拟的具体实现步骤,并将其结果进行比较,得出基于本文模型解析解的FFT算法不仅精确而且高效的结论。
　　较之已有的期权定价模型,本文建立了一类更加完善而且更具一般性和拓展性的期权定价模型,而且得到了其退化模型的解析解,并给出了基于该解析解形式的精确且高效的FFT算法,虽然没能达到预期效果,但是却未将来的期权定价研究工作奠定了基础,指明了方向。

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1 绪论

1.1 期权定价研究前沿简介

1.2 均值回复模型在期权定价中的研究进展

1.3 CEV模型在期权定价中的研究进展

1.4 Levy过程在期权定价中的应用进展

1.5 本文研究的主要内容

2 预备知识

2.1 几类基本随机过程

2.2 Levy过程的定义及基本性质

2.3随机分析中几个基本定理

3 无穷纯跳Levy过程下期权定价模型

3.1 基本模型的建立

3.2 模型代换

3.3 本章小结

4 退化模型及其求解

4.1 特征函数下的期权定价公式

4.2 退化模型下期权定价公式

4.3 本章小结

5 数值算例模拟

5.1 数值算例模型设定

5.2 Monte Carlo 和FFT算法简介

5.3 数值模拟结果

5.4 本章小结

6 总结与展望

6.1 本文总结

6.2 本文展望

致谢

参考文献

附录