分数阶子扩散方程的高阶差分格式

摘要

分数阶偏微分方程广泛应用于生物学、化学、金融学、流体力学、材料力学等领域，目前关于分数阶偏微分方程的解析解已有一些研究，但很多分数阶偏微分方程的解析解依旧很难得到，尤其是非线性方程。因此，求解分数阶偏微分方程的数值算法越来越受关注。
　　本文首先简要回顾分数阶微积分和分数阶扩散波方程的历史及其应用，给出分数阶导数的几种常用定义及它们之间的联系。简述Riemann-Liouville分数阶导数和Caputo分数阶导数的几种常用离散方法，对分数阶子扩散方程数值算法领域的研究现状进行总结和分析。
　　随后，本文通过利用L12公式离散Caputo分数阶导数，四阶紧差分格式离散二阶空间偏导数，给出求解分数阶子扩散方程的高阶差分格式。该格式的截断误差为O(τ3α+h4),其中h为空间步长，τ为时间步长，α为分数阶导数的阶数。进而，研究差分方程解的存在唯一性，并在一定条件下利用能量法获得该格式在无穷范数意义下的稳定性和收敛性结果。
　　最后，给出一些数值实验，验证所获理论结果，对格式中出现的三对角线性方程组采用Thomas算法求解。分别采用高阶差分格式和L1紧差分格式求解分数阶子扩散方程，所得数值结果表明高阶差分格式的精度更高，适合于分数阶子扩散方程的数值求解。

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1 绪 论

1.1 研究背景

1.2 研究现状

1.3 本文主要工作

2 理论基础

2.1 分数阶微积分定义及其联系

2.2 离散分数阶微积分的算法

2.3 特殊函数—Mittag-Leffler函数

2.4 紧差分格式

3 高阶差分格式的建立及误差分析

3.1 分数阶子扩散方程

3.2 高阶差分格式的建立及误差分析

4 稳定性和收敛性分析

4.1 解的唯一性

4.2 稳定性和收敛性分析

4.2.1 稳定性分析

4.2.2 收敛性分析

5 数值实验

总结与展望

致谢

参考文献