参数空间边界元法在薄结构中应用研究

摘要

薄结构由于具有十分良好的承载性能及优美丰富的造型，在土木工程中得到了广泛的应用。在实际生活中的薄结构的几何形状通常是不规则的，其受力状况也是多种荷载共同作用，材料属性一般也是各向异性的，因此很难采用解析的算法进行求解，对于这些问题，一般采用数值分析的方法进行计算，只有少数受力情况简单、几何形状规则的问题才存在解析解。而最常用的解决薄结构问题的数值方法是有限元法，有限元法在处理薄结构问题时，通常采用板壳单元进行简化，与实际情况有所差异，如果采用实体单元进行计算，有限元法会经常出现剪切闭锁现象。而边界元法在处理薄结构问题时并不存在这些问题，而且边界元法只需对边界进行离散，使得矩阵的维度降低，减少了矩阵规模，降低了计算成本。
　　本文旨在利用边界元法计算薄结构问题，主要研究了以下四个方面的内容：（1）如何精确建立薄结构几何模型；（2）如何精确计算奇异积分；（3）如何处理近奇异积分；（4）如何处理畸形单元。
　　首先，详细推导了二维和三维位势问题的边界积分方程。再研究了参数空间边界元法的具体实现过程。主要研究了从物理坐标系映射到参数空间坐标系的映射过程，以及在参数空间中的曲线单元和曲面单元的变量插值过程。
　　其次，研究了边界元法中奇异积分的处理方法：局部坐标变换和奇异消减技术。对于畸形单元，如薄结构中的长条单元，采用保角映射的方法来处理，该方法用比传统奇异消减技术更少的高斯点便能稳定计算畸形单元。
　　最后，对由于源点与积分单元距离过近时边界积分可能产生的近奇异性进行了研究。为了精确计算近奇异积分，本文采用距离变换的方法来消除近奇异性，该方法可以准确计算近奇异积分。对于畸形单元，在角方向采用S型变换进行计算。两种距离变换方法分别与自适应细分法相结合，可以得到较准确地结果，并且当自适应细分法中的经验系数n取值十分小时可以大大降低计算成本。
　　本文的研究表明，参数空间边界元法可以建立与实际问题完全一致的几何模型，即使该问题的几何模型十分复杂，并通过矩形域和立方体域位势问题的算例验证了参数空间边界元法的准确性。同时通过算例验证了奇异消减技术和距离变换能够分别准确计算奇异积分和近奇异积分。此外，基于保角映射的奇异消减技术和在角方向采用的S型变换在计算畸形单元时十分稳定，适合处理存在大量长条单元的薄结构问题。